1 Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными

В цепях с сосредоточенными параметрами энергия запасается в ёмкостях в виде энергии электрического поля и в индуктивностях в виде энергии магнитного поля . Из-за невозможности мгновенных изменений энергии на конечную величину вытекает невозможность скачков напряжения U_C на ёмкостях и токов i_L в индуктивностях L. Отсюда вытекают законы коммутаций.

а б

Рисунок 1.1

К зависимым начальным условиям относятся ток в ёмкости, напряжение на индуктивности, ток и напряжение на резисторе в момент коммутации i_C(0), U_L(0), i_r(0),U_r(0).

Для расчёта переходных процессов в цепях составляется система дифференциальных уравнений по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляет сумму двух решений

,

где i(t) - ток переходного процесса, искомая величина;

Общее решение i_св однородного уравнения описывает процесс, происходящий без воздействия внешних источников. Ток i_св имеет одинаковый вид для любого переходного процесса в заданной цепи. Это решение называют свободной составляющей переходного процесса.

Постоянные интегрирования А₁, А₂, ... определяются из начальных условий. Переходный ток i(t) переходит в установившийся i_уст при затухании свободного тока i_св. Теоретически переходный процесс длится бесконечно, но практически время переходных процессов в большинстве электрических цепей исчисляется долями секунды.
1.1 Классический метод расчета переходных процессов
Классический метод расчёта переходных процессов состоит в составлении дифференциальных уравнений цепи в переходном процессе, их решении и определении постоянных интегрирования из начальных условий. Рассмотрим методику расчета ПП классическим методом на примере расчета переходного тока i₂(t) в разветвленной цепи с источником постоянной ЭДС (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2

2. 
   Определение корней характеристического уравнения
   

• 
  характеристическое уравнение составляется по дифференциальному уравнению для свободной составляющей;
  

После преобразований получим характеристическое уравнение

Решением характеристического уравнения (1.4) относительно р находят его корни.

По виду корней характеристического уравнения записывается выражение свободной составляющей искомой величины. При этом возможны три варианта (нижеследующие записи даны для тока, но такие же записи используются и для напряжения).

а) корни действительные (всегда отрицательные), неравные: р₁р₂. В этом случае

где р_к – к-тый корень уравнения (1.4); А_к – неизвестные константы, представляющие собой постоянные интегрирования, получаемые при решении однородного дифференциального уравнения; к=1 при n=1 и к=1,2 при n=2;

б) корни комплексно-сопряженные р₁= -  + j₀, р₂= -  - j₀.

В этом случае свободная составляющая тока в ПП определяется так

где , ₀ – положительные действительные числа,  - коэффициент затухания, ₀ – частота собственных колебаний контура, А и  - неизвестные константы, подлежащие определению на последующих этапах решения задачи.

в) корни равные (действительные, отрицательные) р₁ = р₂ = - а.

Тогда i_св = (А₁ + А₂t)е^-at,

где А₁ и А₂ – неизвестные постоянные интегрирования.

3 Определение выражения искомого тока i₂(t) в переходном процессе

i₂(t) = i_2уст + i_2св

Ток установившегося режима i_2уст определяем из анализа и расчёта схемы после окончания ПП. Переходный процесс в цепи возникает из-за того, что конденсатор заряжается. Свободный ток i_2св определяется видом корней характеристического уравнения. В нашем случае при вещественных и неравных корнях имеем

Ток переходного процесса

Для определения двух неизвестных А₁ и А₂ составляем второе уравнение, дифференцируя полученное выражение переходного тока i₂(t)

(1.9)

(1.10)

Из системы (1.10) с учетом ННУ (1.3) определяются значения i₃(0), i₂(0).

Первое и второе уравнения системы (1.9) дифференцируются, получившаяся система уравнений записывается при t = 0

(1.11)

Из системы (1.11) находится значение . При этом учитывается, что , то есть . Значение i₃(0) найдено из системы (1.10).

Найденные значения i₂(0), di₂(0)/dt подставляются в систему (1.8), из которой определяются постоянные интегрирования А₁ и А₂. После подстановки значений А₁, А₂ в уравнение (1.6) находится искомое выражение тока i₂(t) в режиме переходного процесса.

1.2 Операторный метод расчета переходных процессов

Дифференциальные уравнения, описывающие ПП в линейных цепях с сосредоточенными параметрами, являются линейными с постоянными коэффициентами. Решение этих уравнений, то есть их интегрирование можно проводить и операторным методом, основанным на преобразовании Лапласа. Преобразование Лапласа позволяет осуществить переход от действительного переменного времени t – к комплексной переменной р, при этом происходит замена дифференциальных уравнений алгебраическими относительно изображений.

При решении системы алгебраических уравнений определяется изображение искомой величины, по которому при использовании теоремы разложения находится оригинал искомой величины (функция времени t).

Вследствие того, что ПП описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, то необходимо показать изображения:

• 
  производной от оригинала f(t)
  

f(0) – значение функции f(t) при t = 0;

• 
  интеграла от оригинала f(t)
  

Например, изображение напряжения на индуктивности определяется следующим выражением

где I(p) – изображение тока i(t); i_L(0) – значение тока в ветви с индуктивностью при t = 0 (ННУ). Если i_L(0) = 0, то

Изображение напряжения на конденсаторе

Изображение постоянной К представляется следующим образом

Изображение синусоидальной функции

В изображения напряжений на индуктивности и конденсаторе (1.14, 1.15) входят независимые начальные условия i_L(0) и u_C(0), которые обуславливают запасы энергии магнитного поля в индуктивности и электрического поля в конденсаторе. Эти запасы энергии при операторном методе расчета ПП учитываются при помощи внутренних ЭДС (L i_L(0)); (u_C(0)/p). При этом направление внутренней ЭДС (L i_L(0)) совпадает с направлением тока i_L(0), а направление внутренней ЭДС на емкости (u_C(0)/p) противоположно направлению тока в ветви с конденсатором.

Операторные расчетные схемы составляются для режима после коммутации в соответствии с выражениями (1.14, 1.15), включающими внутренние ЭДС.

Методику расчёта переходных процессов операторным методом рассмотрим на примере (рисунок 1.3). Требуется найти ток i₁(t) в ПП.

Рисунок 1.3

Рисунок 1.4

По методу контурных токов для схемы рисунка 1.4

В результате решения системы уравнений (1.17) получаем выражение для изображения тока ₁(р) искомой функции i₁(t)

где (р) – многочлен с высшей степенью n оператора р, М(р) – многочлен с высшей степенью m оператора р, при этом n

4 Переход от изображения ₁(р) к оригиналу i₁(t) производится по теореме (формуле) разложения.

Формула разложения в случае разных вещественных корней р_к уравнения М(р) = 0 имеет вид

где (р_к) – значение полинома (р) при величине корня р_к; М(р_к) – значение производной полинома М(р) при значении корня р_к.

Формула разложения в случае двух комплексно-сопряженных корней р_1,2 = -   j₀ представляется следующим образом
.

В случае двух кратных корней уравнения М(р) = 0 рациональная дробь представляется в виде суммы простейших дробей, при этом неизвестные коэффициенты определяются методом неопределенных коэффициентов.