Оценивая погрешности измерения, следует понимать, что уровень точности, к которому необходимо стремиться, должен определяться критериями технической и экономической целесообразности. В метрологии установлено, что увеличение точности измерений вдвое удорожает само измерение в 2-3 раза. В то же время снижение точности измерения ниже определенной нормы как в науке, так и в производстве приводит к непризнанию результатов, к браку производимых изделий и прочим неприятностям.

При установлении точности измерений важно учитывать также их значимость. В одних случаях недостаточная точность получаемой измерительной информации имеет небольшое или локальное значение, в других – играет исключительно важную роль: от точности измерения могут зависеть здоровье и жизнь людей или судьба научного открытия.

Погрешности появляются из-за несовершенства применяемых методов и средств измерений, непостоянства влияющих на результат измерения физических величин и индивидуальных особенностей экспериментатора. На точность измерений влияют также внешние и внутренние помехи, климатические условия и порог чувствительности измерительного прибора.

Результатом прямого однократного измерения является непосредственное показание средства измерения. При этом за погрешность результата измерения принимают погрешность средства измерения. В случае многократных наблюдений результат измерения и его погрешность находят различными методами статистической обработки всех выполненных измерений. Измерение можно считать законченным, если найден не только результат измерения, но и проведена оценка его погрешности.

Итак, погрешность измерений – это отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины.

На практике используют понятие измеряемой величины. Существует такое понятие как погрешность средства измерения – разность между показаниями средства измерений и действий значением измеряемой величины. Эти два понятия близки друг к другу и обычно классифицируются по одинаковым признакам.

Погрешность – одна из основных характеристик результата измерения. Она должна быть обязательно оценена. Для различных видов измерения проблема оценки погрешности может решаться по-разному. Погрешность результата измерений можно оценить с разной точностью на основании различной исходной информации. В соответствии с этим различают измерения с точной, приближенной и предварительной оценкой погрешностей.

При определении точной оценки погрешности учитывают индивидуальные метрологические средства и характеристики каждого из примененных средств измерений, анализируют метод измерений, контролируют условия измерений с целью учета их влияния на результат измерений.

При приближенной оценки погрешности – учитывают метрологические характеристики средств измерения и оценивают влияние на результат только отклонение условий измерения от нормальных.

Измерения с предварительной оценкой погрешности выполняется по типовым методикам, регламентированным нормативными документами, в которых указаны методы и условия измерений, типы и погрешности используемых средств измерений и на основе этих данных заранее оценена возможная погрешность результата.

Основные признаки, по которым классифицируются погрешности:

• 
  по форме количественного выражения:
  

Разновидностью абсолютной погрешности является больше которой погрешность в эксперименте быть не может.

Дает возможность сравнивать качество, т.е. точность измерений). Часто выражается в % :

где - нормирующее значение (например, конечное значение шкалы)

• 
  по закономерности появления:
  

Их можно уменьшить многократными измерениями и последующей статистической обработкой результатов.

Т.о если исключить промахи, абсолютная погрешность измерения Δ, определяемая как , представляется как сумма Δ_с и Δ^о :

Δ=Δ_с + Δ^о,

т.е. абсолютная погрешность, как и результат измерения, является случайной величиной.

• 
  по виду источника погрешности:
  

• 
  по характеру поведения измеряемой величины в процессе измерений:
  

• 
  по условиям эксплуатации средства измерения:
  

Термины аддитивные и мультипликативные погрешности служат для описания формы границ полосы погрешностей средства измерений. При проверке средства измерения (прибор, датчик или ИИС) получают ряд значений выходной величины x_i и ряд соответствующих им значений выходной величины y_i если эти данные нанести на график x, y, то полученные точки разместятся в границах некоторой полосы:

Если эти точки лежат в границах линий, параллельно друг другу (рис.а), т.е. абсолютная погрешность средства измерения во всем диапазоне измерений ограничена постоянным (не зависящим от текущего x_i) пределом ±Δ_о, то такая погрешность называется аддитивной, т.е.получаемой путем сложения, или погрешностью нуля. Это понятие применимо как к систематическим, так и к случайным погрешностям.

Если же положение границ полосы погрешностей имеет вид клина (рис.б), т.е. ширина полосы возрастает пропорционально росту входной величины x_i, а при x=0 также равна 0, то погрешность называется мультипликативной, т.е. получаемой путем умножения, или погрешностью чувствительности (вне зависимости от того, случайная или систематичная погрешность).

Погрешность квантования – это методическая разновидность погрешности, возникающая в цифровых приборах и дискретных преобразователях. При плавном изменении входной величины x_i (например, напряжения на цифровом вольтметре от 0 до 5 мВ) на выходе получаем набор дискретных значений с некоторым шагом (на выходе – ряд дискретных значений 0-1-2-3-4-5 мВ). Поэтому реальная характеристика цифровых и дискретных преобразователей является ступенчатая кривая.

Границы полосы погрешности – параллельные прямые, полоса сохраняет const ширину на всем своем протяжении.

Т.к. измеряемая величина x_i случайным образом может принимать любые значения, погрешность квантования также случайным образом принимает значения в интервале от +Δ_о до -Δ_о.

Поэтому погрешность квантования является случайной аддитивной статической погрешностью, т.к. не зависит ни от текущего значения измеряемой величины x_i, ни от скорости изменения x_i во времени.
В основу классификации системных погрешностей положена закономерность их поведения во времени.

Отличительные особенности прогрессирующих (дрейфовых) погрешностей.

• 
  их можно скорректировать поправками только в данный момент времени, далее они непредсказуемо меняются;
  

• 
  изменение дрейфовых погрешностей во времени – нестационарный случайный процесс, который может быть описан весьма приблизительно в рамках теории стационарных случайных процессов.
  

1. 
   Метод замещения – замена x_измер известной величиной А, получаемой с помощью регулируемой меры, чтобы показание прибора сохранялось неизменным. Погрешность неточного средства измерения устраняется, а Δ определяется погрешностью отсчета измеряемой величины по указателю меры (или заменить на цифровой).
   

2. 
   Метод компенсации погрешности по знаку – выполняются два измерения: и =>
   

3. 
   Метод рандомизации – перевод систематических погрешностей в случайные: некоторая величина измеряется рядом однотипных приборов с последующей оценкой результата измерений в виде математического ожидания (средние арифметические значения) выполненного ряда наблюдений; т.е. от прибора к прибору метод погрешностей изменяется случайным образом.
   

4. 
   Метод введения поправок – поправки определяются экспериментально или путем специальных теоретических исследований и задаются в виде формул, таблиц или графиков (например, этот метод хорош при устранении постоянных инструментальных погрешностей, которые можно выявить при поверке прибора).
   

5. 
   Метод симметричных наблюдений – для выявления и исключения погрешностей, которые являются линейной функцией соответствующего аргумента (амплитуды, напряжения, времени, температуры и пр.). Используются для исключения погрешности, обусловленной, например, постепенным падением напряжения питания.
   

вычисляем и (t₁ и t₅, t₂ и t₄ симметричны относительно t₃). При линейной погрешности средние значения должны быть одинаковыми. Тогда можно записать

где k=const и из системы уравнений

6. 
   Графический метод – строится график, через точки проводят плавную линию, которая отражает тенденцию результата, если она есть. Если нет – переменную погрешность считают практически отсутствующей.
   

Аналитически случайные погрешности описывают и оценивают с помощью аппарата теории вероятностей и математической статистики.

Рассмотрим некоторые числовые характеристики случайных величин.

• 
  Математическое ожидание случайной величины – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
  

(математическое ожидание как дискретной так и непрерывной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина).

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приблизительно равно (тем точнее, чем больше число испытаний N) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

(или в интегральном виде )

• 
  Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания вводится понятие дисперсии – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
  

• 
  Средним квадратическим отклонением случайной величины x называется квадратный корень из дисперсии:
  

размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины, поэтому в метрологии обычно используется , а не D(x), которая имеет размерность квадрата случайной величины.

Это неубывающая функция х, изменяющаяся так, что F(-∞)=0, a F(+∞)=1. Она существует для всех случайных величин, как дискретных, так и непрерывных.

Дискретная случайная величина – величина, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть как конечным, так и бесконечным.

Непрерывная случайная величина – если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Для случайной величины с непрерывной и дифференцируемой F(x) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей, выражаемый как производная от F(x), т.е.

p(x)=F’(x)

Эта зависимость называется кривой плотности распределения вероятностей. Она всегда неотрицательна, т.е. p(x)≥0 и подчиняется условию нормировки:

• 
  Распределение Коши.
  

• 
  Распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное).
  

• 
  Наиболее часто используемое на практике и в теории вероятностей – нормальное распределение (распределение Гаусса).
  

Т.е. по мере удаления от х=0 функция спадает быстрее, чем распределение Лапласа.

Применяется для большего числа наблюдений n.

• 
  Если непрерывная случайная величина принимает значения лишь в пределах некоторого конечного интервала значений (x₁, x₂) с постоянной плотностью вероятностей, то такой закон распределения называется равномерным. Это распределение характерно для поведения случайных погрешностей при измерении непрерывной величины методом дискретного счета при преобразовании их в АЦП (так называемые погрешности квантования уровней сигналов).
  

• 
  Распределение, при котором встречаются с равными вероятностями только два дискретных значения случайной величины +а и –а, называется дискретным двузначным распределением:
  

где - дельта – функция Дирака, для которой:

0, при t ≠ 0

∞, при t = 0

Физически - функцию можно определить как плотность единичной массы сосредоточенной в нуле.

• 
  Распределение Стьюдента (псевдоним Госсета, предсказавшего это распределение) наиболее часто применяется в процессе обработки результатов небольшого числа (2 ≤ 4 < 20) наблюдений случайной величины и справедлив, когда случайные погрешности распределены по нормальному закону. Для него вводится случайная величина:
  

где - оценка средней арифметической х_i

Этот закон учитывает число n наблюдений и задается плотностью распределения вероятностей:

С ростом n (когда n→20) распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному и тем значительнее отличается от него, чем меньше n. Отличия состоят в увеличении рассеяния относительных погрешностей t_x относительно центра t_x=0 при уменьшении числа наблюдений. Уменьшается также и вероятность попадания погрешностей случайной величины t_x в заданный интервал (-t_δ, t_δ).

• 
  Распределение отсчетов синусоидально изменяющейся во времени величины x=x_msinωt, если моменты этих отсчетов равномерно распределены во времени, то оно называется арксинусоидальным.
  

Распределения погрешностей приборов или результатов измерений, как правило, являются симметричными. Поэтому применительно к распределениям вероятностей погрешностей центр распределения может быть определен как центр симметрии распределения.

Координата центра распределения может быть определена несколькими способами. Наиболее общим является определение центра из принципа симметрии, т.е. как точки на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины равны между собой и составляют Р₁ = Р₂ =0,5. Такое значение называется медианой.

Координата центра может быть определена и по-другому – как центр тяжести распределения, т.е. такая абсцисса , относительно которой опрокидывающий момент равен 0:

т.е. центр тяжести, центр распределения – это математическое ожидание.

При симметричной кривой плотности распределения одной из возможных оценок центра распределения может служить абсцисса моды распределения (т.е. максимума плотности). Это возможно лишь в случае, когда распределение имеет моду. Если моды две и более, либо нет вовсе (например, равномерное распределение), то определение центра как моды распределения не имеет смысла.

То же самое относится и к понятию математического ожидания. У ряда распределений, необходимые для вычисления погрешностей, например, косвенных измерений, математического ожидания. Не существует, т.к. соответствующий распределению интеграл расходится (например, распределение Коши), а понятие центра распределения правомерно для любого распределения.

При вероятностном описании погрешности координата центра распределения определяет значение систематической составляющей погрешности, т.е. вероятностное описание погрешностей включает в себя и указание ее систематической составляющей.

Все вышеописанные распределения показаны с координатой центра х_с=0. Если х_с≠0, изменяется и аналитическое описание плотности распределения вероятностей. Например, распределение Гаусса примет вид:

а распределение Коши:

Если же из всех наблюдавшихся значений погрешности вычесть систематическую составляющую, то такое распределение называется центрированным.

Для описания различных свойств распределений используют параметры законов распределения, которые называются моментами. Моменты, найденные без исключения систематической составляющей, называются начальными, а найденные для центрированных распределений, центральными.

Центральный момент порядка k непрерывной случайной величины выражается интегралом:

Очевидно, что центральный момент первого порядка – это математическое ожидание, второго порядка – дисперсия (математическое ожидание квадрата ее отклонения) .

Третий центральный момент μ_з характеризует асимметрию, т.е. скошенность распределения (когда один спад крутой, а другой – пологий). Для симметричных относительно центра распределений он равен 0. Третий момент имеет размерность куба случайной величины, поэтому для относительной характеристики асимметрии .

Асимметрия положительна, если «длинная» часть кривой расположена правее моды, и отрицательна, если слева от моды:

Для оценки «крутости», т.е. большего или меньшего подъема кривой распределения, существует четвертый момент μ₄ =>

Отношение его к σ⁴ называется эксцессом распределения. Для различных законов распределения эксцесс может изменяться от 1 до ∞, поэтому для классификации распределений по их форме удобнее пользоваться величиной

Эксцессом теоретического распределения в теории вероятности называют характеристику, которая определяется разностью:

Для нормального распределения => Е_k=0. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой (т.е. распределения Гаусса): если Е_k>0, то кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая, если Е_k<0, то кривая имеет более низкую и плоскую вершину, чем нормальная. При этом предполагается, что распределение Гаусса (нормальное) и теоретическое имеет одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Особенность законов распределения таких случайных величин как погрешности приборов и результатов измерения состоит в их большом разнообразии. Это вызвано тем, что результирующая погрешность прибора или результата измерения складывается из ряда составляющих. Если эти составляющие рассматривать как случайные величины, то суммирование погрешностей сводится к суммированию случайных величин. Но при суммировании случайных величин законы их распределения резко меняют форму.

Закон распределения суммы независимых случайных величин , имеющих распределения р₁х и р₂х, называются композицией и выражается интегралом свертки:

Измерение формы законов распределения при образовании композиций происходит следующим образом:

Композиция двух одинаковых (с шириной а) равномерных распределений является треугольной.

=