Заведующий кафедрой

_____________________ФИО

_____________________

подпись

«____»________20___г.,

Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию

дисциплина

для специальности (-ей):

«Информационные системы и технологии» (по направлениям),

(название специальности)

__1___курс___________1-2___________семестр ФЗО

3___курс___________5-6___________семестр ФНО

(номер курса (1, 2, 3…), номер семестра (1, 2, 3…)

факультет заочного образования, факультет непрерывного образования

(название факультета (ФЗО, ФНО))

Барановичи 2011

Тематический план курса

п/пНаименование раздела, темы1.Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.1.1.Тема 1.1.Матрицы и линейные операции над ними.1.2.Тема 1.2.Определители.1.3.Тема 1.3. Обратная матрица. Ранг матрицы.1.4.Тема 1.4.Системы линейных уравнений. Матричный способ

2.1Тема 2.1. Элементы теории множеств и математической

логики. Необходимое и достаточное условия.

Метод математической индукции. Бином Ньютона.2.2Тема 2.2. Множество действительных чисел. Понятие

функции. Обратная функция. График функции. Способы

3.1Тема 3.1. Производная функции, ее геометрический и

физический смысл. Уравнение касательной и нормали к

кривой. Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. 3.2Тема 3.2. Логарифмическое дифференцирование.

Дифференцирование параметрически заданные функций.3.3Тема 3.3. Дифференциал функции.3.4Тема 3.4. Производные и дифференциалы высших порядков.3.5Тема 3.5. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Виды неопределенностей. Правило Лопиталя.3.6Тема 3.6.Формула Тейлора.3.7Тема. 3.7. Монотонность и экстремумы функции.3.8Тема 3.8. Общая схема исследования функции и построение ее графика.4Раздел 4. Векторные и комплексные функции скалярного

аргумента. Многочлены.4.1Тема 4.1. Вектор-функция скалярного аргумента, ее предел,

Изображение комплексных чисел на плоскости.

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Извлечение

корня из комплексного числа. Свойства

Теорема алгебры. Разложение многочлена на множители.

Условие тождественности двух многочленов. Признак

кратности корня многочлена и функции.4.5Тема 4.5. Рациональные функции. Разложение рациональных

функций на сумму простейших дробей. Методы нахождения

Частные производные ФМП. Дифференциал ФМП5.2Тема 5.2. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент.5.3Тема 5.3. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.5.4Тема 5.4. Формула Тейлора для ФМП. Понятие неявной ФМП.5.5

Тема 5.5. Понятие экстремума ФМП. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. 5.6Тема 5.6. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

6Раздел 6. Интегральное исчисление функции одной

переменной.6.1Тема 6.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.6.2Тема 6.2. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.6.3Тема 6.3. Интегрирование рациональных функций. 6.4Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и некоторые иррациональные функции.6.5Тема 6.4. Определенный интеграл. Интеграл с переменным верхним пределом.6.6Тема 6.5. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям определенного интеграла.6.7Тема 6.6. Приближенные методы вычисления определенных

интегралов: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. 6.8Тема 6.7. Геометрические приложения определенного интеграла. 6.9Тема 6.8. Физические приложения определенных интегралов.6.10Тема 6.9. Несобственные интегралы первого и второго рода.7Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.7.1Тема 7.1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений ( ДУ). ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.7.2 ДУ первого порядка однородные; в полных дифференциалах.7.3Тема 7.2. Линейное ДУ. Уравнение Бернулли. 7.4Тема 7.3 Общие понятия о ДУ высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.7.5Тема 7.4. Линейные однородные ДУ высших порядков. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами.7.6Тема 7.5. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. 7.7Тема 7.6. Метод вариации произвольных постоянных.7.8Тема 7.7. Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами.7.9Тема 7.8. Линейные неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами.

1. 
   Что называется матрицей?
   
2. 
   Каковы виды матриц?
   
3. 
   Сформулируйте определение операции сложения, разности, умножения матриц, возведения в степень и умножения на число. Какие матрицы можно перемножать?
   
4. 
   Что называется определителем 1-го 2-го и 3-го порядков?
   
5. 
   Что называется минором и алгебраическим дополнением?
   
6. 
   Сформулируйте определение определителя n-го порядка.
   
7. 
   Сформулируйте основные свойства определителей?
   
8. 
   Каковы способы вычисления определителей?
   
9. 
   Что называется обратной матрицей?
   
10. 
    Сформулируйте теорему о единственности матрицы обратной данной?
    
11. 
    Опишите алгоритм нахождения матрицы обратной данной?
    
12. 
    Что называется рангом матрицы?
    
13. 
    Какие из элементарных преобразований матрицы сохраняют ранг матрицы?
    
14. 
    Опишите алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймления.
    
15. 
    Что называется вектором, длиной вектора, единичным вектором, нулевым вектором ?
    
16. 
    Как найти длину вектора ?
    
17. 
    Как найти расстояние между двумя точками ?
    
18. 
    Какие векторы называются коллинеарными ? компланарными ?
    
19. 
    Какие операции над векторами называются линейными ?
    
20. 
    Как определяются эти операции и каковы их свойства ?
    
21. 
    Выведите формулы деления отрезка в данном отношении.
    
22. 
    Как найти координаты середин отрезка ?
    
23. 
    Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов ?
    
24. 
    Запишите формулу угла между векторами.
    
25. 
    Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов ?
    
26. 
    Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов ?
    
27. 
    Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов ?
    
28. 
    Что называется системой m линейных уравнений c n неизвестными ?
    
29. 
    Какая система уравнений называется совместной (несовместной), определенной (неопределенной), равносильной ?
    
30. 
    В чем сущность матричного способа решения системы линейных уравнений (метод обратной матрицы).
    
31. 
    Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы ?
    
32. 
    В чем сущность метода Гаусса для решения системы линейных уравнений ?
    
33. 
    Что называется однородной системой уравнений ?
    
34. 
    Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
    
35. 
    Что называется уравнением линии на плоскости?
    
36. 
    Что называется направляющим ветором прямой?
    
37. 
    Что называется нормальным вектором прямой?
    
38. 
    Как записывается общее уравнение прямой?
    
39. 
    Как записывается уравнение прямой с угловым коэффициентом?
    
40. 
    Как записывается векторное уравнение прямой?
    
41. 
    Как записывается каноническое уравнение прямой?
    
42. 
    Как записывается параметрическое уравнение прямой?
    
43. 
    Как записывается уравнение прямой проходящей через данную точку, уравнение пучка прямых?
    
44. 
    Как записывается уравнение прямой проходящей через две точки?
    
45. 
    Напишите формулу угла между прямыми.
    
46. 
    Напишите формулу расстояния от точки до прямой.
    
47. 
    Сформулируйте условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.
    
48. 
    Как записывается общее уравнение плоскости?
    
49. 
    Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки.
    
50. 
    По какой формуле можно рассчитать угол между двумя плоскостями?
    
51. 
    Напишите виды уравнений прямой в пространстве.
    
52. 
    Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
    
53. 
    По какой формуле можно рассчитать угол между прямой и плоскостью?
    
54. 
    Сформулируйте определение окружности, эллипса, гиперболы и параболы, запишите их уравнения.
    

1. 
   Вычислить матрицу , если , , .
   

1. 
   Вычислить матрицу , если
   

1. 
   Вычислить определители третьего порядка: а) ; б) .
   
2. 
   Определить, имеет ли матрица А обратную, и если имеет, то вычислить ее:
   

Ответ: .

1. 
   Найти скалярное произведение векторов и , если:
   

Ответ: а) 0; б) 2.

1. 
   Даны два вектора и . Найти их скалярное произведение и угол между ними. Чему равно выражение .
   

1. 
   Найти векторное произведение векторов: , ; .
   

8. 
   Решить системы уравнений методом обратной матрицы.
   

а) б)

Ответ: а) (2; 3; –1); б) (2; –1; –2)

9. 
   Решить системы уравнений методом Крамера.
   

а) б)

9. 
   Решить системы уравнений методом Гаусса.
   

а) б)

Ответ: а) (3; –2; –2); б) (1; 2; 2; 0)

11. 
    Даны вершины треугольника . Составить уравнение медианы, проведенной из вершины С.
    

9. 
   Составить уравнение сторон треугольника, вершинами которого являются точки .
   

9. 
   Даны координаты вершин треугольника АВС: . Составить уравнение высоты СК.
   

1. 
   Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений функции?
   
2. 
   Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.
   
3. 
   Какая функция называется четной, нечетной? Приведите примеры.
   
4. 
   Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Р ?
   
5. 
   Какая функция называется переодической? Приведите примеры.
   
6. 
   Какие функции называются элементарными?
   
7. 
   Перечислите основные элементарные функции.
   
8. 
   Постройте график функции .
   
9. 
   Какая функция называется сложной?
   
10. 
    Какая функция называется явной?
    
11. 
    Какая функция называется неявной?
    
12. 
    Какой вид имеет параметрическое задание функции?
    
13. 
    Сформулируйте определение предела числовой последовательности.
    
14. 
    Сформулируйте определение предела функции в точке и в бесконечности.
    
15. 
    Какая величина называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства ?
    
16. 
    Какая величина называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой ?
    
17. 
    Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.
    
18. 
    Какой предел называется первым замечательным пределом?
    
19. 
    Какой предел называется вторым замечательным пределом?
    
20. 
    Сформулируйте основные правила раскрытия неопределенностей.
    
21. 
    Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.
    
22. 
    Сформулируйте свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.
    
23. 
    Какие точки называются точками разрыва функции ?
    
24. 
    Дайте определение точки разрыва первого рода.
    
25. 
    Какую точку называют точкой устранимого разрыва?
    
26. 
    Дайте определение точки разрыва второго рода.
    

1. 
   Найти области определения следующих функций:
   

Ответ: а) ; b) ; c) .

1. 
   Определите, какие из данных функций являются четными, нечетными, общего вида.
   

1. 
   Найти пределы:
   

Ответ: 21; –2/3 .

1. 
   Найти пределы:
   

Ответ: а) ; б) 1; в) ; г)

1. 
   Найти пределы:
   

1. 
   Найти пределы:
   

1. 
   Исследовать на непрерывность функцию:
   

1. 
   Сформулируйте определение производной функции. Каков ее геометрический, экономический и механический смысл?
   
2. 
   Запишите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры.
   
3. 
   Запишите формулу дифференцирования сложной функции.
   
4. 
   Запишите формулы дифференцирования степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.
   
5. 
   Как находится производная обратной и неявной функции?
   
6. 
   Как находится производная функции, заданная параметрическими уравнениями?
   
7. 
   Сформулируйте определение дифференциала функции.
   
8. 
   Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.
   
9. 
   Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида .
   
10. 
    Сформулируйте достаточное и необходимое условия возрастания и убывания функции.
    
11. 
    Сформулируйте определение точки экстремума функции.
    
12. 
    Дайте определение критической (стационарной) точки.
    
13. 
    Сформулируйте первое и второе достаточные условия экстремума.
    
14. 
    Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?
    
15. 
    Сформулируйте условия выпуклости функции.
    
16. 
    Что называется асимптотой графика функции?
    
17. 
    Как определить вертикальные и наклонные асимптоты?
    
18. 
    Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.
    

1. 
   Вычислить производные следующих функций:
   

Ответ: а) ; б)

1. 
   Вычислить производные сложных функций:
   

в) г) ; д) ; е) .

1. 
   Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .
   

1. 
   Найти производную функции , заданной неявно .
   
2. 
   Найти дифференциалы следующих функций:
   

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) .

1. 
   Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
   

Ответ: а) 2; б) 27; в) 1/9

1. 
   Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций:а) ; б) ; в) .
   

1. 
   Исследовать функции на экстремум:
   

Ответ: а) – максимум ; б) – максимум, – минимум; г) – минимум, – максимум.

1. 
   Определить интервалы выпуклости и найти точки перегиба следующих функций:
   

Ответ: а) – интервал выпуклости вверх, – интервал выпуклости вниз; б) – интервал выпуклости вверх, – интервалы выпуклости вниз, – точки перегиба.

1. 
   Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из следующих функций:
   

Ответ: а) – наибольшее значение, – наименьшее значение; б) – наибольшее значение, – наименьшее значение.

1. 
   Что называется n-мерным евклидовым пространством и каковы его типы?
   
2. 
   Что называется функцией нескольких переменных?
   
3. 
   Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?
   
4. 
   Что называется пределом функции двух переменных в точке?
   
5. 
   Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функции нескольких переменных.
   
6. 
   Когда функция называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке?
   
7. 
   Напишите формулы для нахождения сложной функции , где .
   
8. 
   Запишите формулы дифференцирования неявной функции и .
   
9. 
   Сформулируйте определение частных производных высших порядков.
   
10. 
    Что называется градиентом функции ?
    
11. 
    Что называется касательной плоскость к поверхности в данной точке М?
    
12. 
    Запишите уравнение касательной плоскости, проведенной в точке для поверхности S, задаваемой равенством .
    
13. 
    Запишите уравнение касательной плоскости, проведенной в точке для поверхности S, задаваемой уравнением .
    
14. 
    _{Что называется нормалью к поверхности?}
    
15. 
    Запишите каноническое уравнение нормали к поверхности в точке .
    
16. 
    Запишите каноническое уравнение нормали к поверхности в точке .
    
17. 
    Запишите формулы дл вычисления производной по направлению, определяемому вектором _.
    
18. 
    Сформулируйте необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.
    
19. 
    Что называется условным экстремумом функции ? Сформулируйте необходимое и достаточное условия условного экстремума функции двух переменных.
    
20. 
    Опишите процедуру исследования функции на условный экстремум.
    
21. 
    Опишите процедуру нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.
    
22. 
    В чем состоит метод наименьших квадратов при нахождении функции на основании экспериментальных данных?
    

1. 
   Найти частные производные функций:
   

1. 
   Найти полный дифференциал функций:
   

1. 
   Найти частные производные второго порядка следующих функций:
   

1. 
   Найти частные производные неявных функций:
   

1. 
   Найти градиент функции:
   

Ответ: а) ; .

1. 
   Вычислить градиент функции в точке М:
   

1. 
   Найти точки экстремума функции:
   

1. 
   Какая функция называется первообразной для функции ?
   
2. 
   Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций. Что называется неопределенным интегралом?
   
3. 
   Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
   
4. 
   Напишите таблицу основных интегралов.
   
5. 
   Напишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.
   
6. 
   Напишите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
   
7. 
   Сформулируйте понятия правильной и неправильной рацинальной функции.
   
8. 
   Изложите методы нахождения интегралов вида , .
   
9. 
   Изложите правило разложения правильной рациональной функции на простейшие дроби.
   
10. 
    Изложите суть метода неопределенных коэффициентов.
    
11. 
    Изложите методы нахождения интегралов вида ,
    
12. 
    Изложите методы нахождения интегралов вида, где n и m – натуральные числа.
    
13. 
    Изложите методы нахождения интегралов вида .
    
14. 
    Изложите методы нахождения интегралов вида , .
    
15. 
    Изложите методы нахождения интегралов вида , где подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и различных радикалов из .
    
16. 
    Изложите методы нахождения интегралов вида
    
17. 
    Запишите решение интеграла .
    
18. 
    Запишите решение интеграла .
    
19. 
    Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический, физический и экономический смысл.
    
20. 
    Перечислите основные свойства определенного интеграла.
    
21. 
    Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле.
    
22. 
    Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
    
23. 
    Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
    
24. 
    По каким формулам находится объем тела вращения ?
    
25. 
    Дайте понятие несобственных интегралов.
    
26. 
    Какие интегралы называют несобственными интегралами первого и второго рода.? Какой интеграл называется сходящимся, расходящимся ?
    

1. 
   Найти интегралы:
   

Ответ: а) ; б) .

1. 
   Найти интегралы:
   

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) .

1. 
   Найти интегралы:
   

Ответ: а) ;

б) ; в) .

1. 
   Найти интегралы: а) ; б) .
   

Ответ: а) ; б) .

1. 
   Найти интегралы а) ; б) .
   

1. 
   Вычислить интегралы:
   

Ответ: а) 20/3; б) ; в) 8.

1. 
   Найти площадь фигуры ограниченной линиями:а) осью Ох и прямыми ; б) .
   

1. 
   Вычислить несобственные интегралы: а) ; б) .
   

1. 
   Что называется дифференциальным уравнением.
   
2. 
   Сформулируйте определение дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения (интеграла). Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.
   
3. 
   Сформулируйте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего и частного решения.
   
4. 
   Сформулируйте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения и частного решения.
   
5. 
   Сформулируйте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод подстановки для нахождения его общего решения.
   
6. 
   Что называется дифференциальным уравнением второго порядка?
   
7. 
   Какое уравнение называют линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?
   
8. 
   Опишите способ решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Какое уравнение называют характеристическим?
   
9. 
   Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при действительных и различных корнях характеристического уравнения? при равных корнях? В случае комплексных корней?
   
10. 
    Разъясните правило отыскания частного решения уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью вида .
    
11. 
    Разъясните правило отыскания частного решения уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью вида
    
12. 
    Разъясните правило отыскания частного решения уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью вида .
    

1. 
   Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
   

1. 
   Решить однородные дифференциальные уравнения:
   

Ответ: а) ; б) .

1. 
   Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
   

Ответ: а) ; б) .

1. 
   Найти общее решение уравнения.
   

1. 
   Гусак А.А. «Пособие к решению задач по высшей математике». Мн., Издательство БГУ им. Ленина. 1973.
   
2. 
   Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Мн., Вышэйшая школа. 1996.
   
3. 
   Минюк С.А. и др. Высшая математика для инженеров. В 2 т. Т.1:Учеб.пособие для вузов/ С.А. Минюк и др.. – Минск: ООО “Элайда”, 2004 – 464 с.
   
4. 
   Русак. В. и др. Курс высшей математики: Алгебра и начала анализа. Анализ функции одной переменной. М., Высшая школа. 1994.
   
5. 
   Унсович А.Н. Высшая математика: Учебно-методический комплекс для студентов экономических и инженерно-экономических специальностей. / Барановичский гос. университет. – Барановичи: БарГУ. – 2006. – Ч 1. – 368 с.
   
6. 
   Унсович А.Н. Высшая математика: Учебно-методический комплекс для студентов экономических и инженерно-экономических специальностей. / Барановичский гос. университет. – Барановичи: БарГУ. – 2006. – Ч 2. – 192 с.
   
7. 
   Шипачев В.С. «Высшая математика». М., Высшая школа. 1990.
   

1. 
   Баврин И.И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики. М., Просвещение. 1995.
   
2. 
   Русак. В. и др. «Курс высшей математики: Алгебра и начала анализа. Анализ функции одной переменной». М., Высшая школа. 1994.
   
3. 
   Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. – Минск: ТетраСистемс, 2006. – 640 с.