страница 1
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Гродненский государственный
университет имени Янки Купалы»
Факультет математики и информатики
Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики
Ю.Я. РОМАНОВСКИЙ
задания для организании контролируемой самостоятельной работы студентов по дисциплине «геометрия и Алгебра»
Гродно, 2011
Пояснительная записка
Предлагаемые задания соответствуют базовым умениям и навыкам, которыми должны овладеть студент, после изучения соответствующих тем. Задания разбиты на пять модулей. Их необходимо выполнить после прохождения соответствующих тем на аудиторных занятиях. Из заданий, предложенных для самостоятельного решения, формируются задания к экзаменационным билетам входящие в базовую часть билета.
Перед выполнением заданий необходимо определить вариант (выдает преподаватель) и значения констант по соответствующей таблице.
Значения констант по вариантам
Вариант1234567891011121314151617181920k43434343434343433434m88776655343434342222n33445566778899101011111212Вариант2122232425262728293031323334353637383940k34343423232323232323m22222211111111111111n1313141415151616171718181919202021212222
Индивидуальные задания № 1
I. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений
1. Используя элементарные преобразования матрицы, приведите матрицу к ступенчатой матрице: .
2. Вычислите: .
3. Вычислите , если , .
4. Вычислите: .
5. Найдите матрицу обратную матрице .
6. Решите матричное уравнение .
7. Решите систему линейных уравнений по правилу Крамера:
8. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера:
Индивидуальные задания № 2
II. Векторы и координаты
1. Пусть – параллелограмм.
Если четное, то принадлежит стороне и . найдите разложение вектора по векторам и .
Если нечетное, то принадлежит стороне и . Найдите разложение вектора по векторам и .
2. Найдите координаты вектора и его длину, если: , и .
3. Найдите скалярное произведение векторов и , если:
, .
4. Найдите скалярное произведение векторов и , если: , , .
5. Найдите угол между векторами и , если: , .
6. Векторы и , заданы прямоугольными координатами. Найдите координаты вектора , если , .
7. Найдите объем параллелепипеда построенного на векторах , и , если:
, , .
8. Даны точки и . Найдите координаты точки , которая делит отрезок в отношении считая от точки .
Индивидуальные задания № 3
III. Прямые и плоскости
1. Составить уравнение прямой проходящей через точку параллельно прямой .
2. Напишите общее уравнение прямой, заданной параметрическими уравнениями , .
3. Дан треугольник : , и . Напишите общее уравнение медианы и высоты .
4. Найдите угловой коэффициент прямой .
5. Вычислите угол между прямыми a) и ; б) и .
6. Найдите расстояние от точки до прямой .
7. Для прямой, проходящей через точки , , напишите: а) параметрические уравнение; б) каноническое уравнение; в) общее уравнение, г) уравнение с угловым коэффициентом.
8. Напишите общее уравнение плоскости по её параметрическим уравнениям , , .
9. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
10. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки , и .
11. Составьте общее уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно векторам , .
12. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
13. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки , .
14. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
15. Найдите угол между прямой , , и плоскостью .
16. Найдите угол между прямыми: , , и .
17. Найдите угол между плоскостями: и .
18. Найдите расстояние от точки до плоскости .
19. Найдите точку пересечения прямой , , и плоскости .
Индивидуальные задания № 4
IV. Фигуры втророго порядка на плоскости и пространстве
1. Найдите полуоси, координаты фокусов, координаты вершин, эксцентриситет и уравнения директрис фигуры второго порядка и сделайте её чертеж:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) ;
31) ;
32) ;
33) ;
34) ;
35) ;
36) ;
37) ;
38) ;
39) ;
40) .
2. Найдите полуоси, координаты фокусов, координаты вершин, эксцентриситет и уравнения директрис фигуры второго порядка и сделайте её чертеж:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) ;
31) ;
32) ;
33) ;
34) ;
35) ;
36) ;
37) ;
38) ;
39) ;
40) .
3. Напишите уравнения директрисы фигура второго порядка и сделайте её чертеж: .
4. Напишите каноническое уравнение эллипса, если
1) а) , ; б) , ;
2) а) , ; б) , ;
3) а) , ; б) , ;
4) а) , ; б) , ;
5) а) , ; б) , ;
6) а) , ; б) , ;
7) а) , ; б) , ;
8) а) , ; б) , ;
9) а) , ; б) , ;
10) а) , ; б) , ;
11) а) , ; б) , ;
12) а) , ; б) , ;
13) а) , ; б) , ;
14) а) , ; б) , ;
15) а) , ; б) , ;
16) а) , ; б) , ;
17) а) , ; б) , ;
18) а) , ; б) , ;
19) а) , ; б) , ;
20) а) , ; б) , ;
21) а) , ; б) , ;
22) а) , ; б) , ;
23) а) , ; б) , ;
24) а) , ; б) , ;
25) а) , ; б) , ;
26) а) , ; б) , ;
27) а) , ; б) , ;
28) а) , ; б) , ;
29) а) , ; б) , ;
30) а) , ; б) , ;
31) а) , ; б) , ;
32) а) , ; б) , ;
33) а) , ; б) , ;
34) а) , ; б) , ;
35) а) , ; б) , ;
36) а) , ; б) , ;
37) а) , ; б) , ;
38) а) , ; б) , ;
39) а) , ; б) , ;
40) а) , ; б) , .
5. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если
1) а) , ; б) , ;
2) а) , ; б) , ;
3) а) , ; б) , ;
4) а) , ; б) , ;
5) а) , ; б) , ;
6) а) , ; б) , ;
7) а) , ; б) , ;
8) а) , ; б) , ;
9) а) , ; б) , ;
10) а) , ; б) , ;
11) а) , ; б) , ;
12) а) , ; б) , ;
13) а) , ; б) , ;
14) а) , ; б) , ;
15) а) , ; б) , ;
16) а) , ; б) , ;
17) а) , ; б) , ;
18) а) , ; б) , ;
19) а) , ; б) , ;
20) а) , ; б) , ;
21) а) , ; б) , ;
22) а) , ; б) , ;
23) а) , ; б) , ;
24) а) , ; б) , ;
25) а) , ; б) , ;
26) а) , ; б) , ;
27) а) , ; б) , ;
28) а) , ; б) , ;
29) а) , ; б) , ;
30) а) , ; б) , ;
31) а) , ; б) , ;
32) а) , ; б) , ;
33) а) , ; б) , ;
34) а) , ; б) , ;
35) а) , ; б) , ;
36) а) , ; б) , ;
37) а) , ; б) , ;
38) а) , ; б) , ;
39) а) , ; б) , ;
40) а) , ; б) , .
6. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если фокус параболы находится в точке .
7. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку .
8. Установите, что уравнение определяет параболу. Найдите координаты её вершины , величину параметра и сделайте чертеж.
9. Установите, что уравнение определяет эллипс. Найдите координаты его центра, полуоси и сделайте чертеж.
10. Установите, что уравнение определяет гиперболу. Найдите координаты его центра, полуоси и сделайте чертеж.
11. Определите взаимное расположение поверхности и прямой. В случае, если пересекаются, найдите координаты точек пересечения
а) и , , ;
б) и , , ;
в) и , , ;
г) и , , .
12. Установите тип поверхности второго порядка и сделайте её чертеж: а) ;
б) ; в) ; г) .
13.
а) Установите, что уравнение определяет эллиптический параболоид. Найдите координаты его вершины.
б) Установите, что уравнение определяет гиперболический параболоид. Найдите координаты его центра.
в) Установите, что уравнение определяет сферу. Найдите координаты её центра.
Индивидуальные задания № 5
V. Алгебраическая операция. Группа, кольцо, поле. Комплексные числа. Многочлены
1. Вычислите .
2. Вычислите .
3. Данные комплексные числа запишите в тригонометрической и экспоненциальной формах:
а) ; б)
4. Вычислите .
5. Найдите все значения корня
6. Решите уравнение над полем комплексных чисел: .
7. Найдите в кольце наибольший общий делитель многочленов и
8. Пользуясь схемой Горнера, вычислите , если .
9. Найдите рациональные корни многочлена
.
страница 1
|