-совокупность математических точек, перемещение и положение которых заранее обусловлено.(напр. велосипед, Солнечная система).

Масса системы определяется как арифметическая сумма масс точек, входящих в систему.

Ед. [M]=кг

ЦМС - точка, положение которой в пространстве определяется с помощью радиус – вектора.

Силы реакции связи делят на задаваемые и силы реакции.

Внешние силы ( F^e ) – силы, действующие на тела рассматриваемой системы, со стороны тел, не вошедших в рассматриваемую систему.

Внутренние силы ( Fⁱ ) – силы, взаимодействующие между телами в рассматриваемой системе.

1)

2)

Сумма работ внутренних сил неизменяемой системы при всяком ее перемещении равна нулю.

Р_А и Р_В – равные по модулю и противоположные по

направлению силы взаимодействия между этими точками.

При движении точки А и В получат элементарные перемещения ds_A и ds_B .

На перемещениях ds_A^II и ds_В^II, перпендикулярных к линиям действия сил, силы работы не производят. Так как расстояние между точками А и В неизменяемой системы при ее движении изменяться не может, то перемещения ds_A^I и ds_В^I должны быть равны и направлены в одну сторону. Отсюда следует, что .

4. Теорема о движении центра масс системы. Закон сохранения движения центра масс.

,

где c – точка центра масс

a_c – ускорение центра масс

M – масса всей системы

Закон сохранения движения центра масс: Если сумма , то имеет место закон сохранения движения центра масс.

Поступательное m*a_c=∑F^e_i

a_i=m_i*V_i кол-во движения мех системы

m_{i –} масса i-ой точки

F^e_i- равнодействующая всех внешних сил

1. 
   Q_i=m_i*V_i кол-во движения i-ой точки
   

Сложим все уравнения (1) для системы

Q_i=m_i*V_i

…………

Q=M*V_c (3) кол-во движения всей системы

M*r_c= ∑( m_i*r_i) (2)

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

M*v_c=∑( m_i*r_i)
6. Теорема об изменении количества движения материальной системы.

- дифференциальная форма


- интегральная форма

где - количество движения механической системы в конечном и начальном положении

Проекция момента количества движения твердого тела относительно какого – либо центра на любую ось z, проходящую через этот центр, называется моментом l_z количества движения тела относительно этой оси:

Производная по времени от момента l_z количества движения точки относительно какой – либо неподвижной оси z равна моменту силы F, действующей на точку, относительно той же оси.

Следствие из (1): если момент силы, действующей на точку, относительно какой – либо оси в течение некоторого времени равен нулю, то момент количества движения данной точки относительно этой оси все это время остается постоянным.

9. Понятие о моменте инерции тела. Радиус инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно какой – либо оси z (осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме, составленной из произведений массы m_k каждой точки тела на квадрат ее расстояния r_k до данной оси.

Момент инерции бесконечно тонкого кольца (материальной окружности) относительно его оси вращения равен произведению его массы на квадрат радиуса:

Момент инерции тела относительно оси представить в виде произведения массы тела на квадрат длины некоторого отрезка , называемого радиусом инерции тела относительно соответствующей оси:

Под радиусом инерции тела относительно какой – либо оси можно понимать радиус такого бесконечно тонкого кольца, в котором нужно сосредоточить всю массу М тела, чтобы получить момент инерции кольца, равный моменту инерции тела относительно этой оси.

Момент инерции тела относительно какой – либо оси равен моменту инерции этого тела относительно центральной оси, параллельной данной оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

- момент инерции тонкого прямого стержня постоянного сечения

- момент инерции сплошного

круглого цилиндра.

Момент инерции однородного сплошного круглого цилиндра относительно его оси вращения равен половине произведения массы цилиндра на квадрат его радиуса.

- момент инерции полого круглого цилиндра.

p

Момент инерции однородного полого круглого цилиндра относительно его оси вращения равен половине произведения массы цилиндра на сумму квадратов его наружного и внутреннего радиусов.

12. Динамическое уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

(1), где

Произведение момента инерции тела относительно его оси вращения на угловое ускорение тела равно главному моменту всех приложенных к телу внешних сил относительно той же оси.

Уравнение (1) называется динамическим уравнением вращательного движения твердого тела.

13. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении.

Т₀ - кинетическая энергия в начальный момент времени

∑А_i^е +∑А_i^j – сумма работ внешних и внутренних сил

Условие: необходимо начальное и конечное положения.

Механическая система – совокупность тел, связанных между собой различными связями.

Положения и движение каждого из тел взаимно обусловлено. Кинетическая энергия механической системы определяется как арифметическая сумма кинетических энергий i-го тела, входящего в систему.

Теорема Кенига:

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс.

15. Кинетическая энергия твердого тела при разных видах его движения.

Кинетическая энергия тела определяется в зависимости от того – какое движение совершается.

1)поступательное движение

2)вращательное движение

3)плоскопараллельное движение

16. Динамическое плоскопараллельное движение твердого тела.



17. Принцип Даламбера для материальной точки.

Геометрическая сумма всех приложенных к точке сил и силы инерции этой точки равны нулю. , где

Уравнение показывает, что в любой момент времени геометрическая сумма равнодействующей задаваемых сил, равнодействующей реакции связей и силы инерции для каждой материальной точки несвободной механической системы равна нулю.

- поступательное движение

Связи – тела, ограничивающие свободу перемещения другого тела.

OA=l – гибкая нить - уравнение жесткой связи

Классификация связей:

1)головные – связи, уравнения которых не содержат

дифференциалы координат.

2)неголовные – связи, уравнения которых содержат

дифференциалы координат.

- стационарные (уравнения которых не содержат

параметр t.)

- нестационарные (уравнения которых содержат

параметр t.)

- удерживающие (уравнение определяется

равенством).

- неудерживающие (уравнение определяется неравенством).

21. Возможные перемещения.

Возможное перемещение – перемещение тела допускаемое наложенными на систему связями.

Возможное перемещение точки принято обозначать символом , в отличие от ее действительного элементарного перемещения .
22. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи.

Идеальными связями называются связи, сумма элементарных работ реакций которых на любых возможных перемещениях точек системы равно нулю. К числу идеальных связей относятся все стационарные геометрические связи без трения.

- гладкая поверхность (реакция направлена по нормали к поверхности, перемещение такой связи возможно лишь в касательной плоскости, т. е. всегда перпендикулярно к направлению реакции связи и работа =0)

- неподвижный шарнир (точка приложения реакции этой

связи остается неподвижной при любом перемещении системы

и работа реакции равна нулю).

- подвижный шарнир, соединяющий два тела (реакция R₁ и R₂

этих тел друг на друга равны по модулю и направлены по одной

прямой в противоположные стороны, при любом элементарном

перемещении точки приложения реакций этой связи сумма их

элементарных работ равна 0).

23. Принцип возможных перемещений. Принцип Лагранжа.

Для равновесия системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма элементарных работ всех приложенных к ней активных сил на всяком возможном перемещении системы из положения равновесия .

Основное допущение: все перемещения бесконечно малы (δS, δφ).

Перемещения точек принимаются прямолинейными.

24. Принцип Даламбера – Лагранжа (общее уравнение динамической системы).

Сумма элементарных работ всех активных или заданных сил и сумма элементарных работ всех сил инерции равна нулю.

Независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы, называется обобщенными координатами этой системы. Для голономных систем число независимых обобщенных координат механической системы равно числу степеней свободы этой системы.

Производные от обобщенных координат по времени называется обобщенными скоростями.

Производные от обобщенных скоростей по времени называется обобщенными ускорениями.

Обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате, называют скалярную величину, определяемую отношением элементарной работы действующих сил на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением координаты к величине этого приращения.

Обобщенные силы разделяются на обобщенные внешние и внутренние силы.
27. Условие равновесия механической системы в обобщенных координатах.

Для любой системы сил условия равновесия имеют вид

Условия равновесия консервативной системы сил имеют вид

28. Уравнение Лагранжа II рода.

(j=1, 2, …, s)

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы q₁, q₂, …, q_s .

Если материальная система перемещается в потенциальном силовом поле под действием только сил поля (все связи наложенные на систему идеальны), то обобщенные силы можно определить по формуле

Q_i= - дП/дq_i

Введем в рассмотрение функцию L=Т-П (кинет. потенц.)

Эта функция называется функцией Лагранжа. Тогда подставляя ее в уравнение Лагранжа II-го рода :

Систему s диф. уравнений наз. уравнениями Лагранжа 2-го рода. Эти уравнения представ. собой диф. уравнения второго порядка относ. обобщенных коорд. системы , , …, Интегрируя эти уравнения и определяя по начал. Условиям постоянные интегрирования, получаем s урав. движения мех. системы в обобщенных координатх:

При одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний точки.

Вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения точки.

- уравнение вынужденных колебаний малой частоты.

- амплитуда колебаний малой частоты

- уравнение вынужденных колебаний большой частоты

- амплитуда колебаний большой частоты

Отношение η амплитуды вынужденных колебаний А_В к величине А₀ называется коэффициентом динамичности.

Колебания, соответствующие изменению только одной из обобщенных координат наз. Собственными. Свободные колебания являются результатом сложения собственных. Системы с одной степенью свободы имеют только одну частоту колебания. По этому для них для них свободные и собственные колебания совпадают. Система с двумя степенями свободы имеет две частоты собственных колебаний. Аналогично можно показать что система имеющая n-степеней свободы будет иметь n-частот собственных колебаний,т.е. чисостепеней свободы равно числу частот.

Ударом называется явление при котором в результате взаимодействия тел их скорость изменяется на конечную величину за весьма малый промежуток времени . Как правило явление удара сопровождается пластической деформацией контактируемых тел , в результате которых механическая энергия преобразовывается в тепловую. Поэтому при решении задач об ударе тел нельзя использовать теорему об изменении кинетической энергии. Вэтих случаях применяется теорема об изменении количества движения и момента кол-ва движения , записывая в интегральной форме.

Явление удара- явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину(удар мяча о стену и т.д.)

Конечное изменение кол-ва движения тв. тела за ничтожно малое время удара происходит потому что модули сил, которые развиваются при ударе весьма велики, вследствие чего импульсы этих сил за время удара являются конечными величинами. Такие силы назыв. - мгновенными или ударными.

1) действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь.

2)перемещ. матер. точки за время удара можно не учитывать.

3) результат действия ударной силы на матер. точку выражается конечным изменением за время удара вектора скорости, определяемым уравнением – b
34. Теорема об изменении количества движения материальной точки при ударе.

Изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

Уравнение выражает теорему об изменении кол-ва движение мех. системы при ударе:

Изменение кол-ва движение мех. системы за время удара К = геометрической сумме всех внешних ударных импульсов S приложенных к системе.

Количество движ. можно выразить ч\з массу всей системы m и скорости центра масс системы и по формулам

При отсутствии внешних ударных импульсов имеем: