Лекция 10

АППАРАТУРНЫЙ АНАЛИЗ
КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

Среди инструментов статистического исследования важное место занимает корреляционный анализ – исследование корреляционных связей между различными величинами и функциями, а также между значениями одной и той же функции, соответствующими разным значениям аргумента.

Корреляционным анализом безусловно не исчерпывается в целом статистический анализ случайных процессов – в наиболее сложных ситуациях необходимо измерять многомерные распределения. Тем не менее корреляционный анализ имеет большую ценность. Эта ценность объясняется в первую очередь тем, что на практике часто встречающиеся случайные процессы являются нормальными, а каждый нормальный случайный процесс может быть полностью описан в рамках корреляционной теории. В то же время и для случайных процессов, не являющихся нормальными, корреляционный анализ дает ответ на ряд важных вопросов.

Кратко остановимся на значении и роли аппаратного анализа корреляционных функций в научном эксперименте.

Начало интенсивной разработки аппаратуры для корреляционного анализа относится к 1949–50 гг. С тех пор предложено много принципов, схем и конструкций соответствующих аппаратов. Развитие аппаратного корреляционного анализа привело к появлению его теории, ставящей своей основной задачей оценку точности наиболее распространенных способов анализа.

В наиболее крупном плане можно выделить четыре основных направления применения корреляционного анализа:

• 
  радиофизические методы исследования источников сигналов различной физической природы;
  
• 
  создание устройств для передачи информации и исследования динамических характеристик передающих устройств;
  
• 
  разработка корреляционных устройств для приема информации;
  
• 
  построение помехоустойчивых систем автоматического регулирования и экстремальных систем автоматического поиска.
  

1. 1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ
   УСТРОЙСТВ

Схемные и конструктивные решения коррелометров отличаются большим разнообразием, их можно классифицировать по следующим основным признакам:

• 
  по принципу действия, схемным конструктивным особенностям;
  
• 
  форме представления сигналов в устройствах;
  
• 
  диапазону граничных частот случайного процесса, который
  может быть исследован.
  

• 
  мультипликационные коррелометры;
  
• 
  устройства измерения на основе суммирования (вычитания)
  выборочных значений и возведения полученного результата в квадрат;
  
• 
  знаковые коррелометры.
  

Коррелометры используют три формы представления сигналов:

• 
  аналоговую;
  
• 
  аналого-цифровую;
  
• 
  цифровую.
  

И, наконец, различают также коррелометры по способу осуществления временного сдвига  и порядку определения значений корреляционных функций, соответствующих разным значениям :

• 
  коррелометры последовательного анализа;
  
• 
  устройства с параллельным корреляционным анализом;
  
• 
  устройства, использующие принцип циклического анализа.
  

Коррелометры, осуществляющие одновременный (параллельный) корреляционный анализ, являются многоканальными устройствами, в каждом канале которого измеряется значение корреляционной функции, соответствующее некоторой фиксированной задержке .

Работа коррелометров, использующих принципы циклического анализа, состоит из N циклов, в течение каждого из которых временной сдвиг  последовательно проходит весь диапазон своего изменения. Результаты измерений для соответствующих , полученные в N-циклах, суммируются.

Наряду с обычными коррелометрами разработаны приборы, измеряющие нормированную функцию корреляции. Предпочтительность измерения нормированной корреляционной функции перед ненормированной имеет место при решении следующих задач:

• 
  определения нормированных спектров мощности;
  
• 
  анализа случайных процессов с медленной нестационарностью по дисперсии;
  
• 
  сопоставления временной стохастической связи для идентичных объектов или объектов с целью технической или медицинской
  диагностики.
  
• 
  измерения нормированной корреляционной функции облегчит также оценку аппаратных погрешностей, поскольку именно нормированная функция входит в формулы по оценке погрешностей.
  

1. 2. СТРУКТУРНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТИПОВ
   УСТРОЙСТВ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

1. 2.1. Цифровой автоматический коррелометр
   реального времени для низкочастотных сигналов
   (от нуля до нескольких тыс. гц)

Коррелометр реального времени использует всю информацию о входных сигналах, которые по обоим каналам квантуются через интервал (рис. 1)

а

б

Рис. 1. Блок-схема цифрового автоматического коррелометра реального
времени (а) и временная диаграмма, поясняющая принципы измерения (б)
В коррелометре используются:

• 
  четырехразрядный АЦП, из них 1-й разряд – знаковый, 2-4 – цифровые;
  
• 
  измерительная память из 128 регистров с параллельным переносом данных из младших регистров в старшие;
  
• 
  блок умножения с входными буферными регистрами для хранения перемножаемых кодов выборочных значений;
  
• 
  устройства сложения (вычитания);
  
• 
  интегрирующая память, накапливающая результаты статистических измерений по многим циклам.
  

1. 2.2. Коррелометры для сигналов средних
   и высоких частот

С учетом того, что относительная погрешность измерений

Тогда при  = 0,02 и 50 Гц получаем с.

Для 150 Гц достаточно уже 17 с для интегрирования.

В этих случаях цифровые методы интегрирования не имеют никаких преимуществ перед простой аналоговой техникой н/ч фильтрации.

Типичным представителем устройств такого типа является коррелометр Стильтьесса (рис. 2).

Коррелометр Стильтьесса для сигнала х(t) имеет аналоговую входную цепь, в то время как входной процесс у(t) кодируется в трехразрядном АЦП, а полученный код выборочного значения поразрядно синхронно задерживается в сдвиговых регистрах СР₁ – СР₃. Кодирование в АЦП и задержка кода выборочных значений осуществляется с тактовой частотой генератора ГТЧ. В устройстве используются умножители, у которых на один вход подается код выборочного значения процесса у(t), а на второй – мгновенное значение процесса х(t) в аналоговом виде. Выходные сигналы умножителей У₁ – У_n через соответствующие схемы линейного пропускания СЛП₁ – СЛП_n, управляемые схемой временной компрессии СВК, и интеграторы И₁ – И_n выводятся на электронный коммутатор ЭК и далее – в блок регистрации.


Рис. 2. Коррелометр Стильтьесса: ВУ₁ и ВУ₂ – входные устройства;
СВК – схема временной компрессии; У₁ – У_n – умножители;
СР₁ – СР₃ – сдвиговые регистра; ГТЧ – генератор тактовой частоты;
СЛП₁ – СЛП_n – схемы линейного пропускания; И₁ – И_n –интеграторы;
ЭК – электронный коммутатор; БР – блок регистрации

3. КОРРЕЛОМЕТРЫ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ
ДЛЯ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ

1. 3.1. Определение корреляционной функции
   по функции знаковой корреляции

где .

Функцию можно выразить через двухмерную плотность распределения вероятностей

.

Соответственно функция взаимной корреляции – знаковая взаимная корреляционная функция вида «знак-знак»

Для стационарных и эргодических случайных процессов справедливы формулы знаковых корреляционных функций:

Так как при ,

при ,

при ,

при ,

получаем выражение

где – вероятность совпадения знаков выборочных значений случайного процесса в момент времени , – вероятность несовпадения знаков для упомянутых выборочных значений.

Для случайного процесса с нормальным распределением вероятностей и нулевым средним значением совместные вероятности

.

Знаковые корреляционные функции непосредственно могут служить характеристиками стохастической связи. Однако на практике важно располагать соотношениями между знаковыми и обычными корреляционными функциями.

Для нормального стационарного эргодического процесса

,

.

Нормированную корреляционную и взаимнокорреляционную функции стационарного эргодического случайного процесса с нормальными распределениями вероятностей можно выразить и через вероятность совпадений знаков в моменты t и :

Приведенные соотношения указывают на то, что нормированные корреляционные функции нормального стационарного эргодического процесса можно измерить сравнительно простым способом.

1. 3.2. Определение корреляционной функции по знаковой
   функции вида «знак–знак» с применением
   вспомогательных сигналов

• 
  статистической независимости друг от друга и от исследуемых процессов;
  
• 
  распределению вероятностей равномерно в определенных пределах;
  
• 
  равенству 0 математического ожидания;
  
• 
  интервал корреляции мал по сравнению с интервалом корреляции исследуемого случайного процесса; т. е. в спектре вспомогательного сигнала не должны содержаться составляющие, частоты которых были бы ниже или равны наиболее существенной частоте в спектре исследуемого процесса; спектр вспомогательного сигнала по возможности должен быть смещен в область высоких частот;
  
• 
  допускается применение периодического сигнала, не зависящего от исследуемых случайных процессов, но частоты периодических составляющих не должны быть соизмеримы с частотой дискретизации основного сигнала или кратны ей.
  

где u(t) и – вспомогательные сигналы с равномерным распределением вероятностей:

где , .

Докажем справедливость следующего уравнения:

.

Для этого определим математическое ожидание произведения знаковых функций

Для каждых фиксированных значений x и y имеем

Соответственно

Если , а ,

где – знаковая функция типа «знак–знак».

Для автокорреляционной функции по аналогии получаем

,

где

Распишем через вероятности и совпадений и несовпадений знаков соответственно:

Соответственно .

Схема коррелометра для определения корреляционной функции вида «знак-знак» с использованием вспомогательных сигналов приведена на рис. 3

Рис. 3. Коррелометр типа «знак-знак» с использованием вспомогательных сигналов u(t) и υ(t): ВУ₁ и ВУ₂ – входные устройства; УС₁ и УС₂ – устройства сравнения;

или при определении корреляционной функции

где – число знаковых совпадений процессов и в моменты t и t + τ .

Так как , получаем .

Поскольку , ее можно представить , где – среднеквадратическое отклонение.

,

.

Разрешающая способность – минимальная разность двух значений и , которая может быть различима прибором, определяется единичным отсчетом в накопительном счетчике:

Относительную погрешность обозначим

Наибольшая погрешность имеет место, когда τ = τ_к.макс (τ_к.м.).

Если ρ_x(τ_к.м.) = 0,05 , то

.

Для уменьшения нужно выбирать коэффициент с как можно меньшим, а число выборок N возможно большим.