Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко

(подпись)

____________________

(дата утверждения)

Регистрационный № УД-15-2010-621/р.

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Учебная программа для специальности

1-31 03 01 02 Математика (научно-педагогическая деятельность)

Факультет математический

Кафедра Экономической кибернетики и теории вероятностей

Курс (курсы) 4

Лекции 14 часов Экзамен 7

Практические (семинарские)

занятия 18 часов Зачет –
Лабораторные

занятия – Курсовой проект (работа) –

Всего аудиторных

Всего часов Форма получения

Составила Ю.С. Боярович

2010

Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы «Теория вероятностей и математическая статистика», утвержденной 28 мая 2010 года, регистрационный № УД -15-2010-621/ баз.

профессор _________ Ю.В. Малинковский

Председатель

Пояснительная записка

В результате современной компьютеризации и информатизации различных сфер жизни все большее внимание уделяется исследованию процессов, описывающих поступление, хранение, обработку и передачу информации. Рассмотрение многих систем хранения, обработки и передачи информации (например, сетей ЭВМ и ПЭВМ) требует применения аппарата теории вероятностей и тесно связано с такими дисциплинами как теория массового обслуживания и теория сетей массового обслуживания. Базой для изучения указанных дисциплин является спецкурс «Марковские процессы». Спецкурс «Марковские процессы» посвящен изучению одного из важнейших классов случайных процессов – марковских процессов. Для многих реальных процессов марковские процессы являются удобной математической моделью.

Целью дисциплины «Марковские процессы» является изучение основ теории марковских процессов.

Задачами спецкурса являются:

– ознакомление студентов с основными понятиями теории марковских процессов, стационарного распределения марковского процесса, знакомство с понятием эргодичности;

– усвоение студентами классификации цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем, понятий эргодичности и стационарного распределения;

– овладение навыками составления уравнений равновесия для стационарных вероятностей;

– усвоение студентами эргодических теорем, позволяющих устанавливать факт существования и единственности стационарного распределения вероятностей состояний марковского процесса;

– овладение методами исследования и моделирования марковских процессов, а также методами анализа марковских процессов;

– формирование умений и навыков по применению понятий теории марковских процессов, по составлению уравнений Колмогорова и уравнений равновесия, по применению эргодических теорем, по обращению с инфинитезимальными характеристиками.

Материал спецкурса «Марковские процессы» основывается на ранее полученных студентами знаниях по таким дисциплинам, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Случайные процессы».

Общее количество часов – 42; аудиторное количество часов — 36, из них: лекции — 14, практические занятия — 18, самостоятельная управляемая работа студентов (СУРС) — 4. Форма отчётности – экзамен.

Содержание учебного материала

Цепи Маркова с дискретным временем, основные определения. Переходные вероятности цепей Маркова. Уравнения Чепмена-Колмогорова. Эргодические цепи Маркова, эквивалентность определений. Стационарное распределение вероятностей состояний.

Классификация цепей Маркова по арифметическим свойствам вероятностей переходов. Неприводимые классы существенных и несущественных состояний. Период. Циклические подклассы. Возвратные и невозвратные состояния. Критерии возвратности.

Эргодическая теорема Феллера. Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна. Эргодическая теорема Маркова. Эргодическая теорема Фостера. Эргодическая теорема Мустафы.

Цепи Маркова с непрерывным временем, основные определения. Эргодичность Марковского процесса. Переходные вероятности и их свойства. Стандартные цепи Маркова. Уравнения Чепмена-Колмогорова. Начальное распределение. Стационарное распределение. Связь между эргодичностью и существованием единственного стационарного распределения вероятностей состояний марковского процесса.

Инфинитезимальные характеристики марковского процесса. Интенсивности переходов. Инфинитезимальная матрица и ее свойства. Теорема Колмогорова. Классификация состояний. Консервативность цепи Маркова. Система прямых дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.

Система обратных дифференциально-разностных уравнений Колмогорова. Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей. Лемма о существовании и единственности решения прямых и обратных дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.

Регулярные цепи Маркова. Вложенная цепь Маркова. Эргодичность цепи Маркова с непрерывным временем, эквивалентность определений. Уравнения равновесия. Эргодическая теорема Маркова-Бернштейна. Эргодическая теорема Маркова. Эргодическая теорема Фостера.

Определение процесса размножения и гибели. Процессы размножения и гибели с конечным и счетным пространством состояний. Интенсивности переходов между состояниями процесса. Уравнения равновесия для процесса размножения и гибели. Стационарное распределение вероятностей состояний процесса размножения и гибели.

Учебно-методическая карта дисциплины

Информационно-методическая часть

Перечень практических занятий

1. 
   Основные определения и понятия, классификация цепей Маркова. Нахождение стационарного распределения.
   
2. 
   Классификация цепей Маркова по арифметическим и асимптотическим свойствам переходных вероятностей.
   
3. 
   Основные определения и понятия цепей Маркова с непрерывным временем.
   
4. 
   Инфинитезимальные характеристики. Система прямых дифференциально-разностных уравнений Колмогорова.
   
5. 
   Система обратных дифференциально-разностных уравнений Колмогорова. Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей.
   
6. 
   Эргодические теоремы, стационарное распределение марковского процесса.
   
7. 
   Процессы размножения и гибели.
   

Формы контроля знаний

1. 
   Контрольные работы.
   

Темы контрольных работ

1. 
   Цепи Маркова с дискретным временем.
   
2. 
   Цепи Маркова с непрерывным временем.
   

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Малинковский, Ю.В. Методические указания по спецкурсу «Теория марковских процессов» для студентов 3–5 курсов математического факультета / Ю.В. Малинковский – Гомель: ГГУ, 1990. – 44 с.
   
2. 
   Карлин, С. Основы теории случайных процессов/ С. Карлин. – М.: Мир, 1971. – 536 с.
   
3. 
   Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. – М., 1980. – 576 с.
   
4. 
   Прохоров, А.В. Задачи по теории вероятностей / А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков. – М.: Наука, – 1986. – 328 с.
   

на _____/_____ учебный год

Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры

экономической кибернетики

и теории вероятностей

(протокол № ____ от ________ 200_ г.)
Заведующий кафедрой

экономической кибернетик

и и теории вероятностей

д.ф.-м.н.,профессор _______________Ю.В. Малинковский

УТВЕРЖДАЮ

Декан математического факультета УО «ГГУ им. Ф. Скорины»