РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

ПОСТРОЕНИЯ
Направление: математическое моделирование

экономических и социальных процессов

Секция: математика
Выполнил

ученик 9 класса А

Гимназии № 38

г. Караганды

Душехватов Клим
Научный руководитель

Сыропятова Н.М., учитель математики

Караганда – 2010

Оглавление

1. 
   Абстракт.
   
2. 
   Введение.
   
3. 
   Примеры задач на построение одним циркулем.
   
4. 
   Условия и решения своих задач. Вневписанная окружность. Примеры задач.
   
5. 
   Построение правильных многоугольников. Исследование. Построение правильных вписанных многогранников.
   
6. 
   Заключение.
   
7. 
   Список литературы.
   

a) Изучить методы решения задач на построение с помощью одного циркуля. Дополнить список задач в геометрии циркуля условием своей задачи.

b) Изучить, проверить и дополнить своими исследованиями информацию о вневписанных окружностях.

c) Дополнить своими исследованиями информацию о построении правильных многоугольников и правильных многогранников, вписанных один в другой.

a) Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем.

b) С помощью циркуля и линейки можно построить развертки правильных многогранников, вписанных один в другой.
3. Этапы исследования

a) Диагностический: Выявление проблемы и обоснование актуальности.

b) Прогностический: Разработка программы исследования.

c) Организационный: Сбор информации, анализ, консультации.

a) Аналитический обзор литературы.

b) Изучение литературы.

c) Консультации учителей гимназии.

d) Составление плана работы.

e) Выполнение работы.

a) Изучение теоретического материала, выходящего за рамки школьной программы.

b) Приминение теорем о свойствах внепвисанных окружностях в решении задач на построение.

c) Создание моделей правильных многогранников, вписанных один в другой.

Самостоятельное изучение литературы, составление плана, исследования по теме. Построение моделей правильных многогранников, вписанных один в другой.

В данной работе:

a) Изучено, что с помощью каждого из инструментов циркуля и линейки можно точно решать одни и те же геометрические задачи на построение, дополнен список задач в геометрии циркуля условием своей задачи.

b) Изучено и дополнено своими исследованиями информация о вневписанных окружностях и построении правильных многоугольников.

c) Рассчитаны и fccxbnfys b построены модели правильных многогранников: куба, икосаэдра и додекаэдра, вписанных один в другой.
2. Введение
Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований.

Раздел геометрии, изучающий геометрические построения одним циркулем, называют геометрией циркуля.

Знаменитая геометрия Евклида (III век до нашей эры) была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты.

Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной точке относительно данной прямой.

В геометрии циркуля прямая считается построенной, если даны две её любые точки. Таким образом с помощью одного циркуля можно построить прямую.

В 1833 году швейцарский геометр Якоб Штейнер опубликовал работу «Геометрические построения, производимые с помощью прямой линии и неподвижного круга», в которой наиболее полно исследовал построения одной линейкой. Основной вывод этой работы: «Каждая задача на построение, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена и одной линейкой, если в плоскости чертежа дана постоянная окружность и её центр».

Таким образом, чтобы линейку сделать равносильной циркулю, достаточно однократное употребление циркуля.

Геометрия играет важную роль в архитектуре. Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры. Не случайно говорят; что пирамида Хеопса — немой трактат по геометрии, а греческая архитектура — внешнее выражение геометрии Евклида.

Геометрия по-прежнему остается «грамматикой архитектора». Только сегодня, с появлением новых строительных материалов (бетон, металл, стекло, пластик) и новой технологии строительства, архитектор может опираться на более широкий круг геометрических законов. Это расширяет творческие возможности архитектора и порождает новые конструкции, новые архитектурные формы, новую эстетику.

Совершенствование конструкций сопровождается не только усложнением их геометрического построения, но и общим расширением применяемого в архитектуре математического аппарата, включением в него современных математических методов.

Проводим затем окружность (A2, r), которая пересечёт окружность (С, r) в точке D. В пересечении окружности (А2, r) с (D, r) получим точку А3. Отрезок |AA | = 3r и т. д.

Проделав приведенное построение n раз, построим отрезок |AAn| = nr.

Исследование: Справедливость построения следует из того, что циркуль с раствором, равным радиусу окружности, делит её на шесть равных частей.

Построение: (Второй способ) Берём вне прямой АА1 произвольную точку B и проводим окружности (А1, |AB|) и (B, r), в пересечении которых получим точку C.

Если теперь описать окружности (А1, r) и (С, |A1B|), то они пересекутся в искомой точке А2. Отрезок |AA2| = 2r. Проводим окружности (А2, r) и (С, |A1B|) и обозначаем точку А3 их пересечения. Здесь |AA3| = 3r и т. д.

Докажем, что |OX| = r.

Из прямоугольного треугольника COX получим

ОХ = r. X лежит на окружности (O, r) и делит дугу AB пополам.

Докажем, что |OX| = r.

Из прямоугольного треугольника COX получим

ОХ = r. X лежит на окружности (O, r) и делит дугу AB пополам.

Теорема I. Биссектриса внутреннего угла BAC треугольника ABC и биссектрисы двух внешних углов при вершинах B и C пересекаются в одной точке.

Теорема II. Пусть T1 – точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны AC треугольника ABC. Тогда длина отрезка AT1 равна полупериметру треугольника ABC.

Теорема III. Радиус вписанной окружности равен 1/3 среднего гармонического радиусов его вневписанных окружностей.

Теорема IV. SABC = ra(p – a)
Задача 2. Построить равносторонний треугольник по радиусу вневписанной окружности.
Свойство вневписанной окружности. (Мое исследование)

Высота любого равностороннего треугольника равна радиусу вневписанной окружности.

Пусть:

h – высота равностороннего треугольника

r – радиус вневписанной окружности



Примеры задач на вневписанную окружность.
Задача 1. Постройте треугольник ABC, зная положение трех точек A₁, B₁ и C₁, являющихся центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.

Решение: Пусть искомый треугольник АВС построен. Центр каждой его вневписанной окружности лежит на пересечении соответствующих биссектрис внутреннего и внешнего углов. Проведя их, получим точки А₁, В₁ и С₁.

Так как биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, то вершины А, В и С искомого треугольника лежат на сторонах треугольника А₁В₁С₁. Кроме того, так как биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе внутреннего угла, проведенной из той же вершины, то А₁А  В₁С₁, В₁В  А₁С₁, С₁С  А₁В₁.

Таким образом, решение задачи сводится к построению треугольника A₁B₁C₁ и его высот.

Задача имеет единственное решение тогда и только тогда, когда треугольник А₁В₁С₁ – остроугольный.

Вершины остроугольного треугольника являются центрами вневписанных окружностей для его ортотреугольника (треугольника, образованного основаниями высот).
Задача 4. Постройте прямую, проходящую через данную точку и отсекающую от данного угла треугольник с заданным периметром.

Решение: Пусть на плоскости даны угол О и точка М. Предположим, что искомая прямая АВ построена, то есть треугольник АОВ имеет заданный периметр Р. Проведем окружность, касающуюся сторон данного угла и отрезка АВ (см. рис. 5). Пусть K и L – точки касания этой окружности со сторонами угла, тогда OK = OL = p.

Таким образом, решение задачи сводится к построению вспомогательного равнобедренного треугольника KOL (сторону KL которого можно не проводить) и окружности, касающейся сторон данного угла в точках K и L. После этого через точку М проводится касательная АВ к этой окружности.

Отметим, что, зависимости от расположения точки М, задача может иметь два решения, одно решение или не иметь решений.

5. Построение правильных многоугольников
Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.
Первый метод.

1. Построить окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначить её центр как O.

2. Выбрать на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Построить прямую через O и A.

3. Построить прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначить одно её пересечение с окружностью как точку B.

4. Построить точку C посередине между O и B.

5. Провести окружность с центром в C через точку A. Обозначить её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

6. Провести окружность с центром в A через точку D. Обозначить её пересечения с оригинальной окружностью как точки E и F.

7. Провести окружность с центром в E через точку A. Обозначить её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

8. Провести окружность с центром в F через точку A. Обозначить её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

9. Построить правильный пятиугольник AEGHF.

1. Построить окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначить её центр как O.

2. Выбрать на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Построить прямую через O и A.

3. Построить прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначить одно её пересечение с окружностью как точку B.

4. Построить точку C посередине между O и B.

5. Соединить точки C и A.

6. Построить биссектрису угла ACO. Точка D – точка пересечения биссектрисы угла ACO и прямой AO.

7. Построить прямую, проходящую через точку D, параллельную промой BO. E – точка пересечения прямой DE и окружности, в которую вписан пятиугольник; Вторая вершина пятиугольника.

(Аналогично проделать тоже самое относительно второй вершины пятиугольника)

Задачи на построение находят большое применение в технике, архитектуре, дизайне, черчении и д.т. Рассмотрим задачу на модели правильного и большого додекаэдра. Правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников. Построение правильного пятиугольника рассматривается в курсе черчения. Можно ли найти решение отличное от решения Евклида? Если вписать правильный пятиугольник в окружность, то центральный угол (образованный радиусами, проведенными из центра окружности к двум его соседним вершинам) равен 72.

Возникают вопросы:

1. Можно ли построить угол 72 градуса с помощью циркуля и линейки?

2. Разрешима ли эта задача?

Для ответа на второй вопрос воспользуемся следующей теоремой:

Если аналитическое решение задачи на построение не выражается рациональными действиями и извлечением квадратного корня, то эта задача неразрешима с помощью циркуля и линейки. И наоборот, если аналитическое решение задачи на построение выражается рациональными действиями и извлечением квадратного корня, то эта задача разрешима с помощью циркуля и линейки (1).

Следовательно, если построить угол 72,то построение правильного пятиугольника не доставит особых проблем. Для начала построим правильный 10-угольник. В нем центральный угол, соединяющий центр описанной окружности с двумя соседними вершинами, равен 36. Тогда в равнобедренном треугольнике AOB; OA=OB=R и AOB=36(Рисунок 11).

Биссектриса угла А делит этот треугольник на два равнобедренных: AOC и ABC. Обозначим: AO=OB=R, AB=x, следовательно, AB=AC=OC=x. Так как, биссектриса, проведенная из вершины угла треугольника, делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то , то есть

.









(не удовлетворяет условию задачи)

Следуя теореме 1, если аналитическое решение задачи на построение выражается рациональными действиями и извлечением квадратного корня, то эта задача разрешима с помощью циркуля и линейки. Знаю R, мы всегда сможем найти x, следовательно можем и построить угол 36 .

Трафарет для построения (звездчатого платонова тела) большого додекаэдра – равнобедренный треугольник с углами 36, 36, 108 (Рисунок 12). По внешнему виду он похож на додекаэдр, над каждой пятиугольной гранью которого выступает пятиугольная звезда. Трафареты для моделей додекаэдра и большого додекаэдра (Рисунок 13).

Построение правильных вписанных многогранников
Возьмём куб (гексаэдр) и впишем в него правильный икосаэдр, а в икосаэдр впишем правильный додекаэдр так, чтобы вершины икосаэдра лежали на гранях куба, а вершины додекаэдра – в центрах граней икосаэдра.

Для построения икосаэдра необходимо найти длину его ребра. Расположим икосаэдр так, чтобы две его соседние вершины лежали на одной грани, а ребро с концами в этих точках – на основной симметрии грани.

Обозначив длину ребра AB=d, а расстояния концов отрезка AB до перпендикулярных ему рёбер грани за x, получим:

AF+AB+BE=1

x+d+x=1

2x+d=1 (1)

Треугольник BEH – прямоугольный.

BE=x, , EH=1/2, следовательно по теореме Пифагора

BE²+EH²=BH², то есть (2)

1 – 2d + d² + 1 = 3d²

2d² + 2d – 2 = 0

d² + d – 1 = 0

D = 1 + 4 = 5

, так как d > 0, то .

катетами 1 и 2, тогда его гипотенуза равна .

С помощью циркуля отсечем от гипотенузы отрезок длиной, равной 1. Оставшуюся часть разделим пополам. Длина полученного отрезка равна длине ребра икосаэдра.

Для построения отрезка, длина которого равна длине ребра вписанного додекаэдра, рассмотрим правильную пятиугольную пирамиду, являющуюся частью икосаэдра. О1 и О2 – центры граней икосаэдра, следовательно ребро додекаэдра равно длине отрезка О1О2.

В равных равносторонних треугольниках ASB и CSB проведём высоты AH и CH и рассмотрим треугольник ACH. О1 и О2 лежат соответственно на сторонах AH и

CH, и по свойству медианы треугольника , так

AC является диагональю правильного пятиугольника ABCDE со стороной, равной ребру икосаэдра. Примем длину ребра икосаэдра за b = 1 (единица).

Построим правильный пятиугольник с ребром b, затем построим новый пятиугольник с ребром m = 1/3AC. Это и будет грань искомого додекаэдра. Построенные таким образом, многогранники будут вписаны друг в друга.

Длину ребра додекаэдра можно непосредственно измерить с помощью циркуля на готовой модели икосаэдра.

a) Изучено, что с помощью каждого из инструментов циркуля и линейки можно точно решать одни и те же геометрические задачи на построение, дополнен список задач в геометрии циркуля условием своей задачи.

b) Изучено и дополнено своими исследованиями информация о вневписанных окружностях и построении правильных многоугольников.

Построены грани правильных многогранников: куба , икос и додек, вписанных один в другой. Построении модели

Архитектура, черчение, дополнительный материал в программе углубленного курса геометрии, начертательная и проективная геометрия.

2. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение. 1950 г.

3. Аргунов Б.И., Бланк М.Б. Геометрические построения на плоскости. 1957 г.

4. Костовский А.Н. О возможности решения задач на построение одним циркулем с ограниченным раствором ножек. 1954 г.

5. Воронец А.М. Геометрия циркуля. 1934 г.

6. Шыныбеков А.Н. Геометрия 9 класс. 2005 г.

7. Ботвинников А.Д., Виноградов В.Н., Вышнепольский И.С. Черчение (Учебник для 6 – 7 классов средней общеобразовательной школы) 1988 г.

8. Веннинджер М. Модели многогранников. 1974 г.

Душехватова Клима «Геометрические построения».

Геометрические построения являются существенным фактором математического образования, они представляют собой мощное оружие геометрических исследований. Геометрические построения широко применяются как в самой геометрии, так и в черчении, начертательной и проективной геометрии, дизайне, архитектуре. В работе исследуется возможность решения задачи на построение, решение некоторых задач на построение одним циркулем, предлагаются авторские решения задач. Изучается, проверяется, дополняется авторскими исследованиями информация о вневписанных окружностях.

Автор, несомненно, проделал большую исследовательскую работу. Он почерпнул обширные сведения из теории и практики геометрических построений и получил ряд самостоятельных результатов.

Несмотря на то, что построения одним циркулем являются в большинстве случаев долее громоздкими, чем построения циркулем и линейкой, они являются более точными. Данная работа может быть адресована любителям математики, в частности, старшеклассникам для подготовки к олимпиадам различного уровня, так как исследуемый материал далеко выходит за рамки школьной программы.