страница 1 ... страница 2 | страница 3 страница 4 страница 5
6. Метод Гаусса
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y - 3z = 2,
3x - 2y + z = - 1,
2x + y - 2z = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
~  ;
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
 .
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
x + y - 3z = 2,
-5y + 10z = -7,
- 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.
7. Формулы Крамера
Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А
= det (ai j)
и n вспомогательных определителей i (i= ), которые получаются из определителя заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Формулы Крамера имеют вид:
x i = i ( i = ). (5.4)
Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
x i = i / .
Если главный определитель системы и все вспомогательные определители i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,
2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,
3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
Решение. Главный определитель этой системы
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители i ( i =  ), получающиеся из определителя путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:
 
 
Отсюда x1 = 1/ = 1, x2 = 2/ = 2, x3 = 3/ = 3, x4 = 4/ = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.
8. Матричный метод
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.
Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений
x1 - x2 + x3 = 6,
2x1 + x2 + x3 = 3,
x1 + x2 +2x3 = 5.
Решение. Обозначим
A = 
Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку  , то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:
 .
Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A1B. В данном случае
и, следовательно,
 .
Выполняя действия над матрицами, получим:
x1 = 1/5(16+33-25) = 1/5 (6+9-10) = 1,
x2 = 1/5 (-36 +13 - 15) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,
x3 = 1/5 (16 - 23 + 35) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.
Итак, С = (1, -2, 3)T.
9. Системы линейных уравнений общего вида
Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n; б) r < n:
а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;
б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.
Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.
Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.
Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:
a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5)
... ... ... ... ... ...
am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.
Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.
Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число , что будет выполняться равенство
AX = X.
Число называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.
В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.
Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = X в виде (A - E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:
(a11 -)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,
a21x1 + (a22 -)x2 +... + a2nxn = 0,
... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)
an1x1 + an2x2 +... + (ann-)xn = 0.
Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.
 .
Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной , которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.
Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения и решать обычным образом.
Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,
3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,
x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.
Решение. Будем находить ранги матриц A и A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:
Очевидно, что r(A) = r(A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,
- 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.
Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:
x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,
- 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,
откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.
Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.
2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.
Решение. Данной системе соответствует матрица . Имеем А ~  следовательно, исходная система равносильна такой:
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,
0 = a-5.
Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:
x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.
Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:
a1 = (1, 1, 4, 2),
a2 = (1, -1, -2, 4),
a3 = (0, 2, 6, -2),
a4 = (-3, -1, 3, 4),
a5 = (-1, 0, - 4, -7).
Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0.
В координатной записи оно равносильно системе уравнений:
x1 + x2 - 3x4 - x5 = 0,
x1 - x2 + 2x3 - x4 = 0,
4x1 - 2x2 + 6x3 +3x4 - 4x5 = 0,
2x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.
Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:
 .
Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:
x1 + x2 - 3x4 = x5,
-2x2 + 2x4 = -2x3 - x5,
- 3x4 = - x5.
Имеем: x4 = 1/3 x5, x2 = 5/6x5+x3, x1 = 7/6 x5 -x3.
Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0
имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x5 = 6, x3 = 1. Тогда x4=2, x2 = 6, x1=6 и мы получим соотношение
6a1 + 6a2 + a3 + 2a4 + 6a5 = 0,
т.е. данная система векторов линейно независима.
Пример 2.19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
 .
Решение. Вычислим определитель матрицы A
  .
Итак, = ( - 2)2 (+2)2. Корни характеристического уравнения =0 - это числа 1 = 2 и 2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения в систему (5.6): при = 2 имеем систему линейных однородных уравнений
x1 - x2 = 0, x1 - x2 = 0,
x1 - x2 = 0, 3x2 -7x3 - 3x4 = 0,
3x1 - 7x3 - 3x4 = 0, 5x3 + x4 = 0.
4x1 - x2 + 3x3 - x4 = 0,
Следовательно, собственному значению = 2 отвечают собственные векторы вида (8, 8, -3, 15), где - любое отличное от нуля действительное число. При = -2 имеем:
 ,
и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений
x1+3x2 = 0,
x2 = 0,
x3+x4= 0.
Поэтому собственному значению = -2 отвечают собственные векторы вида (0, 0,-1, 1), где - любое отличное от нуля действительное число.
страница 1 ... страница 2 | страница 3 страница 4 страница 5
|