страница 1 ... страница 2 | страница 3 | страница 4 страница 5
10. Использование систем линейных уравнений
Пример 2.20. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:
Тип
|
Способ раскроя
|
заготовки
|
1
|
2
|
3
|
А
|
3
|
2
|
1
|
Б
|
1
|
6
|
2
|
В
|
4
|
1
|
5
|
Записать в математической форме условия выполнения задания.
Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.
Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +z должна равняться 360, т.е.
3x +2y + z =360.
Аналогично получаем уравнения
x + 6y +2z = 300
4x + y + 5z = 675,
которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.
Следовательно, исходная система равносильна следующей:
x + 6y +2z = 300,
2y +9z = 570,
-67z = - 4020.
Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем
x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.
Пример 2.21. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.
Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.
Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x i j количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде
x 11 + x 12 = 6000, (5.7)
где x 11, x 12 - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:
x2 1 + x22 = 4000. (5.8)
Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x 31 = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид
x 32 =3000. (5.9)
Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:
x 11 + x 21 = 8000. (5.10)
Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:
4,3x 11 + 7,8 x 12 + 5,25 x 21 + 6,4x 22 + 3,25x 32 = 58850. (5.11)
Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) - (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде:
4,3x 11 + 7,8x 12 +5,25x 21 +6,4x 22 = 49100,
и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x 11, x 12, x 21, x 22, расширенная матрица которой имеет вид:
 .
Преобразуем ее к треугольному виду:
 .
Наша система равносильна следующей:
x 11 + x 12 = 6000,
- x 12 + x 21 = 2000,
x 21 + x 22 = 4000,
-2,35 x 22 = - 4700,
откуда x 22 = 2000, x 21 = 2000, x 12 = 0, x 11 = 6000.
Пример 2.22.На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.
Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.
Изделие
|
Выход из единицы сырья
|
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
А
|
2
|
1
|
7
|
4
|
Б
|
6
|
12
|
2
|
3
|
Решение. Обозначим через x1, x2, x3, x4 количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:
x1 + x2 + x3 + x4 = 94,
2x1 + x2 + 7x3 + 4x4 = 574,
6x1 +12x2 +2x3 + 3x4 = 328.
Решаем ее методом Гаусса:
.
Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x4 - свободное. Исходная система равносильна следующей:
x1 + x2 + x3 = 94 - x4,
- x2 + 5x3 = 386 - 2x4,
26x3 = 2080- 9x4.
Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x1 и x4 не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x1 = - 12/13 x4 получим: x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.
Пример 2.23. Математическая модель межотраслевого баланса.
Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:
 , (5.12)
или, в матричной форме,
AX + Y = X, (5.13)
где А = (a i j) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта.
Перепишем систему (5.13) в виде
(E - A) X = Y, (5.14)
где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле
X = (E - A) 1 Y. (5.15)
Здесь (E - A) 1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b i j матрицы (E - A) 1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x i в виде функций планируемых значений y j конечных продуктов отраслей:
 .
Пример 2.24. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где
 ;
Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.
 ,
значит,
 .
Пример 2.25. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где
 .
Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:
 ,
или
(0,125 -)2 - 0,140625 = 0 0,125 - = 0,375.
Следовательно, 1 = 0,5; 2 = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу
X = (E - A) 1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы
 .
Обозначим B = E-A, тогда
 .
Следовательно,
 .
страница 1 ... страница 2 | страница 3 | страница 4 страница 5
|