Как известно, при численном моделировании различных полупровод­никовых приборов, в частности методом Монте-Карло, - необходимо учитывать непрерывное изменение во времени и пространстве электри­ческого поля. Решение уравнения Пуассона при определенных заданных граничных условиях позволяет получить адекватное реальному распре­деление потенциала и напряженности электрического поля в приборе [1]. Так как метод Монте-Карло требует больших затрат машинного време­ни, то при разработке программ моделирования должны использоваться эффективные алгоритмы решения уравнения поля.

Целью данной работы явилась демонстрация возможности исполь­зования многосеточного метода для решения уравнения Пуассона, а также его сравнительная оценка с некоторыми наиболее часто исполь­зуемыми методами при моделировании полупроводниковых прибор­ных структур методом Монте-Карло.

УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

Если ввести в области решения прямоугольную сетку с шагом h, то ис­ходную дифференциальную задачу можно аппроксимировать пятиточеч­ной конечно-разностной схемой [2]:





шений в узлах сетки, w -вектор значений правой части уравнения (1) в уз­лах сетки.

Сегодня для решения

уравнения Пуассона чаще

всего используют методы

последовательной верх­ней

релаксации (ПВР), или

какой-либо из мето­дов

быстрого решения эллиптических

уравне­ний (БРЭУ методы). Од­нако их производительности становиться недостаточно при моделирова­нии двухмерных систем со сложными граничными условиями или трех­мерных систем.

Существенно ускорить решение уравнения Пуассона позволяет мно­госеточный метод (МС), который можно отнести к итерационным мето­дам. Он основан на использовании последовательности уменьшающихся сеток и операторов перехода от одной сетки к другой для эффективного подавления низкочастотных составляющих ошибки [3, 4]. Помимо этого, алгоритм многосеточного метода удачно вписывается в современную концепцию объектно-ориентированной методологии (ООМ), и дает воз­можность распараллеливания вычислений [5].

МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД

Если - последовательность приближенных решений системы (2), сходящихся к точному решению u,а - приближенное ре­шение на шаге i, то можно определить невязку r' [2, 6]:

для уточнения предыдущей аппроксимации vполученной на исходной сетке Ωn,[3, 6]:

Самая простая схема многосеточного алгоритма, использующая две сетки, для i-й итерации имеет следующий вид [6]:

1. 
   Приближенное решение vⁱсистемы (2) на сетке Ωn сглаживается на
   исходной сетке с использованием подходящей релаксационной схемы;
   
2. 
   Вычисленная на сетке Ωn согласно уравнению (3) невязка перено­
   ситься на более грубую сетку Ωn-1
   
3. 
   Находится точное решение уравнения (5) на грубой сетке;
   
4. 
   Найденноеинтерполируется с сетки Ωn-1на сетку Ωn.Вычисля­
   етсяvⁱ⁺¹;
   
5. 
   Осуществляется окончательное сглаживание приближенного реше­
   нияvⁱ⁺¹на сетке Ωn.
   

Реализация многосеточного алгоритма, требует больших затрат памя­ти по сравнению с алгоритмом ПВР. Разница в основном связана с тем, что метод ПВР предполагает хранение значений в узловых точках един­ственной сетки, в то время как многосеточный алгоритм оперирует с рассчитанными данными в узлах всей последовательности уменьшаю­щихся сеток. Помимо этого, схема многосеточного алгоритма подразу­мевает использование рассчитанных коэффициентов операторов интер­поляции и сглаживания. На рис. 2 показана зависимость среднего объема памяти, требующейся для хранения промежуточной информации при реа­лизации методов ПВР и МС, от числа узлов сетки Ng.

Несмотря на то, что многосеточный метод требует больших ресурсов памяти, чем метод последовательной верхней релаксации, он обладает го­раздо более быстрой сходимостью [3, 6]. Для сравнения быстродействия многосеточного метода и чаще всего используемых в Монте-Карло моде­лировании методов последовательной верхней релаксации, а также метода быстрого преобразования Фурье с циклической редукцией, было проведе­но решение модельной задачи, соответствующей прямоугольной области приборной структуры с граничными условиями Дирихле на границе кон­такт-полупроводник, и Неймана на остальных границах (рис. 1). В этом случае решалась система уравнений (2) за временной шаг коррекции поля Δtв прямоугольной области с равномерной сеткой. На рис. 3 приведена зависимость времени решения уравнения Пуассона различными методами

от N_g, при заданной точности для итерационных методов.

Из рис. 3 видно, что многосеточный метод уступает по быстроте ре­шения системы (2) методу быстрого преобразования Фурье с цикличе­ской редукцией (БПФ с ЦР). Это очевидно, поскольку как метод БПФ с ЦР, так и другие специализированные методы этого класса, доказывают свою эффективность лишь при моделировании упрошенных модельных задач. Если же учитывать сложные граничные условия, то необходимо использование дополнительной процедуры матрицы емкости, что ведет к значительному увеличению времени решения системы (2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, можно сделать вывод о том, что многосеточный метод для рассмотренных условий является значительно более быстрым, чем метод последовательной верхней релаксации с ускорением по Чебышеву и более универсальным, чем специализированный метод БПФ с ЦР. Также видно, что зависимость времени решения для многосеточного метода от числа узлов является практически линейной. Благодаря этому его можно также успешно применять не только для решения двумерного уравнения Пуассона, но и при трехмерном моделировании приборных структур мето­дом Монте-Карло.

В дальнейшем предполагается включить многосеточный алгоритм в программный пакет моделирования n-канального МОП-транзистора методом Монте-Карло на основе ООМ GSB-MOSFET. Представляет­ся, что это позволит значительно увеличить скорость расчетов при со­хранении необходимой точности.

1. 
   Хокни Р., ИствудД. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987. 640 с.
   
2. 
   Самарский, А. А., ГулинА. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.
   
3. 
   Trottenberg U., OsterleeC. W., Schuller A. Multigrid // Academic Press. 2000.
   
4. 
   William L. Briggs, Van Emden Henson, and Steve F. McCormick. A Multigrid Tutorial.
   Second Edition. SIAM, 2000.
   
5. 
   Сперанский Д. С, Борздов В. М. Моделирование полупроводниковых приборных
   структур методом Монте-Карло. Подход с использованием технологии объектно-
   ориентированного программирования // Доклады БГУИР. 2008. № 4. С. 66-71.
   
6. 
   Saraniti M., Rein A., Zandler G., Vogl P., Lugli P. An Efficient Multigrid Poisson
   Solver for Device Simulations // IEEE Trans. on comp. 1996. Vol. 15, N 2. P. 141-150.
   
7. 
   Борздов В. М. Моделирование методом Монте-Карло приборных структур инте­
   гральной электроники / В. М. Борздов, О. Г. Жевняк, Ф. Ф. Комаров, В. О. Гален-
   чик. Минск, БГУ. 2007.