где с-скорость света, G-гравитационная постоянная.

Кулоновская энергия 2^х протонов внутри ядра , т.е. примерно, в 10 раз меньше ядерной.

1.5.2. Капельная модель ядра и формула Вайцзеккера.
Для ядер с А>20 энергия связи W≈. Это говорит о том, что нуклон в ядре взаимодействует не со всеми, а лишь с ближайшими нуклонами. Это свойство насыщения ядерных взаимодействий, вытекающее из их короткодействия и отталкивания нуклонов на малых расстояниях, делает ядро похожим на каплю жидкости. Используя нерелятивистскую квантовую теорию, Вайцзеккер предложил капельную модель ядра, в которой можно не учитывать структуру нуклонов, да и трудности самой ядерной физики (в решении уравнения Шредингера для ядра: NN – взаимодействие до конца не изучено, не решена проблема сильно взаимодействующих тел для А >4) делают эту модель удобной и полезной. Сходство жидкой капли и ядра: в обоих случаях энергия связи пропорциональна числу составляющих частиц и радиальная форма NN – потенциала (V_NN) аналогична потенциалу Леннард-Джонса для взаимодействующих атомов.

В формуле Вайцзеккера для энергии связи ядра фигурируют:

1) объемная энергия (энергия связи тем больше, чем больше объем ядра (число нуклонов): E_об.=a_v*A, где постоянная а_z=15,6МэВ;

2) поверхностная энергия (нуклоны на поверхности связаны слабее, чем внутри ядра, т.к. взаимодействуют с меньшим числом своих партнеров, чем внутренние нуклоны. Число потерянных связей пропорционально числу нуклонов на поверхности, а, значит, и самой поверхности S=4R²=4rA^2/3; R=r₀A^1/3; r₀=1.2Фм. Итак, за счет поверхности, энергия связи уменьшается на величину а_SA^2/3: E_ПОВ.=а_SA^2/3, где постоянная а_S=17,2МэВ. На нуклон, находящийся на поверхности, действует результирующая сила, направленная внутрь ядра. Поэтому поверхностные нуклоны стремятся сжать ядро, создавая, как в капле, поверхностное натяжение, энергия которого и определяется этим выражением);

3) кулоновская энергия (для заряда, равномерно распределенного по сфере:

,

энергия кулоновского отталкивания, уменьшающая энергию связи:

где а_с – константа, а_с=0,72МэВ);

4) энергия симметрии (этот член в формуле Вайцзеккера возникает при учете квантовой природы ядерной капли. Ядро состоит из фермионов, следовательно, необходимо учесть принцип Паули. Каждый уровень энергии в ядре характеризуется лишь одним набором квантовых чисел и потому в соответствии с принципом Паули может быть занят лишь одним нуклоном каждого типа. Ядра, у которых нуклонов одного типа больше, чем другого, имеют меньшую энергию связи, чем ядра с одинаковым числом протонов и нейтронов. Член в формуле Вайцзеккера, который учитывает стремление ядра иметь в основном состоянии симметричное расположение по уровням энергии нейтронов и протонов (энергия симметрии):

где а_sym— константа, а_sym=23,6МэВ. Квадрат в числителе отражает тот факт, что энергия симметрии должна возрастать при росте относительного числа нуклонов любого типа. Появление 1/A связано с реальным сближением ядерных уровней с ростом А. (Отклонение от симметрии уменьшает энергию связи, поэтому у этого члена знак “ — “ как и в двух предыдущих).

Представленные значения констант a_v, a_S, a_C и a_SYM дают хорошие результаты при подгонке под экспериментальные данные.

1.5.3. Эффект спаривания нуклонов.
На зависимости B_n от N (рис.8) наблюдаются “пульсации” на уровне 1-2 МэВ.




Рис.8. Зависимость энергии отделения нейтронов (B_n) от числа нейтронов (N) в ядре.

Это связанно со специфическим свойством NN – взаимодействия: в основном состоянии ядра возникает дополнительная связь между двумя нуклонами одного типа (двумя протонами или двумя нейтронами). Энергия B_n возрастает на 2-3 МэВ, когда число нейтронов становится четным. У четно-четных ядер все нуклоны в основном состоянии спарены и положительная добавка к энергии связи наибольшая. Условились энергию спаривания (E_спар) записывать так, чтобы для нечетных ядер (один нуклон в основном состоянии не спарен) она равнялась “0”. С экспериментом согласуется выражение:

в котором =0 (нечетные ядра); = + (четно-четные); = - (нечетно-нечетные ядра).

Итак, окончательное выражение для энергии связи ядра в формуле Вайцзеккера:

.

1.5.4. Деление атомных ядер и оболочечная модель структуры ядра.
То, что при делении тяжелых ядер выделяется энергия, следует из зависимости от А. При делении тяжелого ядра совершается переход к более легким ядрам, в которых нуклоны связаны сильнее ( больше, рис.7), и часть энергии высвобождается. Для энергии деления (Е_дел)можно записать:

E_дел=M(A,Z)c²-[M₁(A₁,Z₁)c²+M₂(A₂,Z₂)c²]=W₁(A₁,Z₁)+W₂(A₂,Z₂)-W(A,Z).

(A=A₁+A₂; Z=Z₁+Z₂).

Для случая, когда ядро делится на 2 примерно равных осколка с А₁=А₂=А/2 и Z₁=Z₂=Z/2, пренебрегая энергией спаривания (А^-3/4) и полагая, что Z(Z-1)≈Z², получим, используя формулу Вайцзеккера (слагаемые объемной энергии и энергии симметрии сокращаются):

Е_дел=2W()-W(A,Z)≈[E_пов((A,Z)+E_кул(A,Z)]-2[E_пов()+E_кул()]≈0,37a_c-0,26a_sA^2/3.

Видно, что деление энергетически выгодно (Е_дел>0), если 0,37а_с >0,26а_sА^2/3, т.е. когда >17. Величина -- это параметр деления. Т.о. деление выгодно для ядер, которые тяжелее иттрия (=17).

При делении Е_пов возрастает, т.к. растет площадь ядерной поверхности, а Е_кул уменьшается, т.к. растет среднее расстояние между протонами. Чтобы при делении освобождалась энергия (Е_дел>0) нужно, чтобы уменьшение Е_кул превышало увеличение Е_пов. В примере деления ядра с А=240 на 2 равных осколка (1.5.1) это и происходит (уменьшение Е_кул превышает увеличение Е_пов примерно на 220МэВ).

Распределение энергии деления тепловыми нейтронами.

При делении осколки в момент образования сильно перегружены нейтронами и находятся в состояниях с большой энергией возбуждения. Такие осколки неустойчивы к ^--распаду, который восстанавливает баланс между числом нейтронов и протонов в ядре. Снятие начального возбуждения осколков (возникшего из-за нарушения числа протонов и нейтронов) происходит также за счет вылета мгновенных нейтронов деления. Они испускаются за t < 4*10^-14c. Энергетический спектр их имеет максимум около 1МэВ, средняя энергия мгновенных нейтронов ≈2МэВ. Около 1% нейтронов испускаются с запаздыванием (достигает ~1мин). Они испускаются остановившимися осколками после предварительного ^--распада и оказавшимися в результате этого распада в состоянии с энергией возбуждения >B_n. Часть энергии деления уносится -квантами из осколков сразу после вылета мгновенных нейтронов (“мгновенные” -кванты), а также -квантами после ^--распада осколков.

При наиболее вероятном делении ²³⁵₉₂U тепловыми нейтронами осколок с А=95 приобретает кинетическую энергию Т=100МэВ, а тяжёлый осколок (А=139) Т=67МэВ, в сумме 167 МэВ из полной энергии ~ 200 МэВ. Следовательно ~ 33 МэВ уносят другие частицы (n, e^-, ΰ, γ). Из 200 МэВ в тепло можно превратить ~ 190 МэВ (в расчёте на ядро), т.к. следует исключить энергию, уносимую антинейтрино.

Распределение энергии деления тепловыми нейтронами:

кинетическая энергия осколков -- 167МэВ

мгновенные нейтроны -- 5 МэВ

электроны ^--распада -- 5 МэВ

Антинейтрино ^--распада -- 10МэВ

мгновенное -излучение -- 7 МэВ

-излучение продуктов распада -- 6 МэВ
Характерной особенностью деления является то, что преобладает асимметричное деление (возникают разные по массе осколки). Так, в случае деления при захвате нейтрона (делится составное ядро ) (рис.9):

Вероятность деления на равные осколки ≠0, но ~ на 3 порядка меньше, чем в случае наиболее вероятного деления на осколки с А=139 и 95. Капельная модель ядра не исключает возможность асимметричного деления, но не объясняет его основные закономерности. Асимметричное деление можно объяснить влиянием оболочечной структуры ядра. Ядро стремится разделиться таким образом, чтобы основная часть нуклонов каждого осколка образовала устойчивый магический остов.

Ядерное поле создается внутренними межнуклонными силами. Нуклоны в ядре должны часто сталкиваться и обмениваться энергиями. Средний пробег у нуклона должен быть меньше радиуса ядра. Это говорит о невозможности движения нуклонов внутри ядра по устойчивым орбитам, с долго сохраняющимися квантовыми числами, т.е. о невозможности нахождения их (нуклонов) на определённых оболочках.


Рис.9. Массовое распределение осколков деления урана.

Однако факты заставили оболочечную модель ввести. Было обнаружено, что ядра с числом нейтронов и/или протонов – 2, 8, 20, 50, 82, 126 (магические числа) обладают повышенной распространённостью, повышенной устойчивостью (с увеличением B_n), относительным уменьшением массы, резким увеличением энергии первого возбужденного состояния.

Оболочками в случае произвольного потенциала следует считать группы близко расположенных одночастичных уровней энергии.

Оболочечная структура ядра свидетельствует о том, что нуклоны в ядре во многом ведут себя как независимые частицы в потенциальной яме (одинаковый для всех нуклонов потенциал притяжения).

В ходе деления ядро проходит через стадии: шар, эллипсоид, гантель, 2 грушевидных осколка, 2 сферических осколка. Изменение энергии ядра на разных стадиях определяется изменением суммы поверхностной и кулоновской энергий начального ядра и осколков. При увеличении расстояния между центрами осколков (при делении ²³⁶₉₂U из основного состояния на 2 асимметричных осколка) от начального значения r=0. Эта сумма сначала растёт, а затем уменьшается. Т.о. возникает потенциальный барьер, препятствующий мгновенному (за характерное ядерное время ~ 10^-22с) спонтанному делению исходного ядра из основного состояния. Для ²³⁶₉₂U величина этого барьера 6,5 МэВ. Барьер возникает потому, что поверхностная энергия с увеличением r (при r<10 Фм) растёт быстрее, чем уменьшается кулоновская энергия. Ядро ²³⁶₉₂U в основном состоянии практически стабильно. Если ему добавить небольшую энергию, то оно может менять форму от сферической до эллипсоидальной, совершая небольшие колебания относительно исходного «сферического» состояния и не испытывая деления. Однако при передаче ядру энергии, большей величины барьера, амплитуда колебаний становится настолько большой, что ядро проскакивает максимальное значение потенциальной энергии и делится. Вершине барьера соответствует гантелевидная форма делящегося ядра. Как только ядро приобретает форму гантели деление становится необратимым.

Изменение полной энергии при переходе от сферы к эллипсоиду определяется соотношением:

, где ε –малый параметр деформации ядра в выражениях для малой и большой осей эллипсоида: ; R – радиус исходного ядра.

Барьер возникает тогда, когда ΔE>0, т.е. при Z²/A<2a_s/a_c≈48, причём высота барьера тем меньше, чем меньше выражение в скобках, т.е. чем больше параметр деления Z²/A. (Рис. 9)

При Z²/A≈48 барьер деления исчезает и ядра с таким или большим параметром деления неустойчивы к мгновенному (за время ~10^-22с) спонтанному делению. Спонтанное деление ограничивает область существования устойчивых или долгоживущих ядер со стороны больших значений A и Z. Вероятность спонтанного деления растёт с увеличением Z²/A, т.е. с уменьшением высоты барьера. Период спонтанного деления уменьшается при переходе от менее тяжёлых ядер к более тяжёлым (от Т_½>10²¹лет для ²³²₉₀Th до 6 мс для ²⁵⁶₁₀₄Rf). Также резко изменяется зависимость Т_½ спонтанного деления от высоты барьера. При делении ²³⁵₉₂U тепловыми нейтронами (n+²³⁵₉₂U→²³⁶₉₂U→⁹⁵₃₈Sr+¹³⁹₅₄Xe+2n) составное ядро ²³⁶₉₂U получает энергию возбуждения, равную энергии отделения нейтрона (B_n) от ядра ²³⁶₉₂U (кинетическая энергия Т теплового нейтрона ≈0,025эВ и добавкой к энергии возбуждения ²³⁶₉₂U этой величины можно пренебречь). Т.к. B_n ²³⁶₉₂U равна 6,8 МэВ, т.е. превышает барьер деления, то это ядро делится. Вынужденное деление может быть вызвано не только нейтронами, но и другими частицами. Однако использование нейтронов практически выгодно, т.к. их захвату ядром не препятствует кулоновский барьер и эффективное сечение захвата велико.

Итак, мерой способности к делению ядер в рамках капельной модели ядра может служить отношение кулоновского отталкивания протонов, стремящихся разорвать каплю, к энергии поверхностного натяжения, противодействующего растеканию капли:;

σ- коэффициент поверхностного натяжения капли,

r_n – радиус нуклона.

Z²/A – больше для ²³⁶₉₂U, чем для ²³⁹₉₂U следовательно, энергия активации (или величина барьера) реакции деления на ядрах ²³⁶₉₂U меньше (6,5 МэВ), чем на ядрах ²³⁹₉₂U (7,1 МэВ). Эти цифры характеризуют величину барьера, который должен быть преодолен при делении ядер ²³⁶₉₂U и ²³⁹₉₂U. Экспериментально было установлено, что энергия возбуждения у ядра ²³⁹₉₂U – 5,5 МэВ, тогда как у ²³⁶₉₂U – 6,8 МэВ, т.е. ядро ²³⁶₉₂U должно делиться, находясь на энергетическом уровне более высоком, чем нужно для деления (6,8 МэВ-6,5 МэВ=0,3 МэВ), независимо от кинетической энергии падающего нейтрона, а ядро ²³⁹₉₂U не будет делиться, если нейтрон не принесёт ещё дополнительную кинетическую энергию, равную 7,1-5,5=1,6 МэВ. Т.е. для деления ядер ²³⁸₉₂U нужны быстрые нейтроны (с E_n>1,6 МэВ), тогда как ядра ²³⁵₉₂U делятся тепловыми нейтронами.