страница 1
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Электрические цепи служат для передачи, изменения и преобразования проходящих через них сигналов. Элементы, из которых состоят все электрические цепи, можно разделить на пассивные и активные. Пассивными называют такие элементы электрической цепи, которые не могут увеличивать энергию действующего в этой цепи сигнала. К ним относятся сопротивление R, индуктивность L и емкость C. Активные же элементы могут увеличивать энергию сигнала.
Все элементы радиоэлектронных цепей, кроме того, подразделяются на элементы с сосредоточенными и распределенными параметрами. Если линейные размеры элементов намного меньше длины волны действующего в цепи сигнала, то они являются элементами с сосредоточенными параметрами. В противном случае мы имеем дело с элементами с распределенными параметрами.
Электрические цепи можно разделить на два больших класса: линейные и нелинейные. Цепь называется линейной, если ее параметры не зависят от приложенного напряжения и протекающего в ней тока.
Очень часто какую-либо линейную или нелинейную электрическую цепь, составленную из пассивных и активных элементов, удобно рассматривать в виде четырехполюсника, имеющего четыре доступных вывода (рис. 2.1). Два из них при этом образуют вход данной цепи, а два других – выход. К входным выводам может подключаться источник сигнала, а к выходным – нагрузка.
2.1. Основные свойства линейных цепей
Свойство 1. Процессы в линейных цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Приведем пример такой цепи. Если имеется простая последовательная цепь, состоящая из сосредоточенных пассивных элементов, а именно сопротивления R, индуктивности L и емкости C, а также источника эдс e(t) (рис. 2.2), то процессы в ней описываются следующим интегродифференциальным уравнением , так как напряжения на сопротивлении, индуктивности и емкости соответственно равны , и . После дифференцирования обеих частей этого уравнения получим
,(2.1)что соответствует сформулированному выше свойству.
Известно, что систему из n дифференциальных уравнений первого порядка можно заменить одним дифференциальным уравнением n-го порядка. В силу этого, для сложной цепи, состоящей из n простых цепей, справедливо уравнение
,(2.2)где f(t) – некоторое внешнее воздействие.
Если в уравнении (2.2) все коэффициенты an являются постоянными, то это уравнение описывает линейную систему с постоянными параметрами.
Если хотя бы один из коэффициентов an является функцией времени, то уравнение (2.2) будет характеризовать систему с переменными параметрами или параметрическую цепь.
Если хотя бы один из коэффициентов an является функцией тока (или напряжения, если уравнение записано относительно переменной u), то мы будем иметь нелинейную систему.
Свойство линейности элементов можно истолковать как результат линейности их вольтамперных характеристик на определенной частоте (=const).
Свойство 2. Для линейных цепей справедлив принцип независимости при наложении внешних воздействий или, другими словами, принцип суперпозиции.
Этот принцип можно проиллюстрировать следующим образом. Если к линейной системе приложить несколько внешних воздействий fi(t), где i=1, 2, 3, …, то поведение такой системы можно описать путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждого из воздействий в отдельности. Для простоты рассмотрим цепь, которая при заданном значении f1(t) описывается простым уравнением
,(2.3)а решением этого уравнения является некоторая функция y1(t), где под y(t) понимается величина тока, напряжения или заряда.
При приложении к этой же системе воздействия f2(t) процессы в ней будут описываться уравнением
,(2.4)а его решением будет функция y2(t).
При одновременном действии на систему двух воздействий f1(t) и f2(t) соответствующее уравнение будет иметь вид
.(2.5)Решением его будет некоторая функция y3(t).
Если система линейна, то должно выполняться соотношение
y3(t)=y1(t)+y2(t).(2.6)Если же система нелинейна, то
y3(t)y1(t)+y2(t).(2.7)Свойство 3. В линейных системах не происходит преобразования спектра частот.
Это свойство является следствием того, что операции интегрирования и дифференцирования являются линейными. Так для цепи, изображенной на рис. 2.2, воздействие f(t)=е(t) будет описываться тремя слагаемыми, линейно связанными протекающими по цепи токами с падениями напряжений на резисторе, индуктивности и емкости. Тогда, если, например,
,то
(2.8) ,(2.9) .(2.10)В случае сложного характера функции f(t), последняя разлагается на элементарные составляющие в ряд Фурье, и на основании вышеизложенного каждая из составляющих даст решение с одной и той же постоянной частотой.
С другой стороны, в нелинейных цепях, которые будут рассмотрены в четвертой главе курса, всегда происходит преобразование спектра частот сигнала. Это же утверждение справедливо и для параметрических цепей. При этом в нелинейной системе структура преобразованного сигнала зависит не только от времени, но и от амплитуды. Если, например, u3=u1+u2, то i3i1+i2 (рис. 2.3).
2.2. Дифференцирующие цепи
С помощью простейших RC- и RL-цепей (рис. 2.4) можно проводить дифференцирование сигналов.
Пусть на вход RC-цепи (рис. 2.4 а) подан сигнал Uвх. Тогда но , а UR=Ri и, следовательно,
.(2.11)Умножая числитель и знаменатель первого слагаемого в правой части уравнения (2.11) на R и учитывая, что напряжение на выходе Uвых=UR, получим
.(2.12)Обозначая далее постоянную времени данной цепи RC=, а затем дифференцируя обе части уравнения (2.12) по времени t, получим
.(2.13)При условии, что , (это справедливо, когда достаточно мала), на основании равенства (2.13) будем иметь
,(2.14)из чего следует, что выходное напряжение пропорционально производной от входного, т. е. имеет место операция дифференцирования входного сигнала.
Если положить, что очень велика и значением по сравнению с величиной можно пренебречь, то на основании соотношения (2.13) получим , откуда Uвых=Uвх, и RC-цепь в этих условиях становится переходной, т. е. такой цепью, проходя через которую сигнал на ее выходе повторяет входной. Эта цепь может использоваться, например, для связи между отдельными каскадами многокаскадного усилителя.
Из сказанного выше видно, что дифференцирование будет тем точнее, чем меньше постоянная времени цепи =RC. Но уменьшение постоянной времени , как следует из выражения (2.14), ведет к уменьшению величины напряжения на выходе цепи, поэтому идеальное дифференцирование с ее помощью невозможно. Условием приближенного дифференцирования, в частности, в случае прямоугольного импульса будет неравенство <<tи, где tи – длительность дифференцируемого импульса.
Дифференцирующую цепь называют также обостряющей или укорачивающей, так как длительность выходных импульсов меньше длительности входных, а их вершина является острой (см. рис. 2.7). Как видно из этого рисунка, при определении длительности продифференцированных импульсов появляется некоторая неопределенность. Если же длительность импульса определять на уровне 0,5Um, где Um – его амплитуда, то справедливо равенство откуда , и тогда длительность импульса по уровню 0,5 будет равна
(2.15)Формула (2.15) может быть использована при экспериментальном определении постоянной времени цепи.
Выражение для комплексного коэффициента передачи дифференцирующей цепи, изображенной на рис. 2.4 а, имеет вид
(2.16)При этом модуль коэффициента передачи рассматриваемой цепи или, другими словами, ее амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) выразится как
.(2.17)Фазовый сдвиг между напряжением на входе и выходным напряжением или фазо-частотная характеристика (ФЧХ) дифференцирующей цепи определяется формулой
.(2.18)Аналогичными характеристиками обладает и RL-цепь, изображенная на рис. 2.4 б, постоянная времени которой =L/R. Графики функций (2.17) и (2.18) представлены на рис. 2.5.
Если на вход дифференцирующей цепи подать единичный скачок напряжения Uвх(t)=(t) (рис. 2.6 а), то в этом случае можно получить так называемую переходную характеристику h(t) (рис. 2.6 б) этой цепи, представляющую собой зависимость сигнала на выходе цепи при единичном скачке напряжения на ее входе
.(2.19)При воздействии на дифференцирующую цепь сигнала прямоугольной формы на выходе получается напряжение, частный случай которого представлен на рис. 2.7. Вид напряжения на выходе определяется постоянной времени =RC.
2.3. Интегрирующие цепи
На рис. 2.8 изображены простейшие RC- и RL-интегрирующие цепи.
Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 2.8 а. В данном случае выходной сигнал снимается с емкости и уравнение, описывающее рассматриваемую цепь Uвх=Ri+Uвых, можно представить в виде
.(2.20)Пусть в равенстве (2.20) велика так, что . Тогда будем иметь , откуда
,(2.21)т. е. выходное напряжение пропорционально интегралу от входного, и поэтому с помощью данной цепи может выполняться операция интегрирования.
Если же в равенстве (2.20) положить, что мала, и имеет место соотношение , то можем записать, что
.(2.22)В этих условиях цепь называется переходной, т. к. выходной сигнал повторяет входной.
Как следует из выражения (2.20), интегрирование происходит тем точнее, чем больше постоянная времени . Но увеличение постоянной времени =RC, как видно из выражения (2.21), ведет к уменьшению величины выходного напряжения, поэтому идеально точное интегрирование с помощью рассмотренной выше цепи невозможно. В случае, например, приближенного интегрирования прямоугольного импульса должно выполняться неравенство tи<<.
Комплексный коэффициент передачи напряжения интегрирующей RC-цепи (рис. 2.8 а) можно представить в виде
(2.23)АЧХ цепи будет иметь вид
.(2.24)ФЧХ цепи определяется выражением
.(2.25)Графики функций (2.24) и (2.25) представлены на рис. 2.9.
Аналогичными свойствами обладает и RL-цепь с постоянной времени =L/R, изображенная на рис. 2.8 б.
Переходная характеристика интегрирующей цепи получается интегрированием выражения (2.20) при Uвх=(t) и имеет вид:
.(2.26)Пример интегрирования прямоугольного импульса представлен на рис. 2.10. Форма напряжения на выходе интегрирующей цепи определяется, как и в случае дифференцирующей цепи, постоянной времени .
2.4. Колебательные контуры.
Свободные колебания в контуре
В различных радиотехнических устройствах, в частности, в радиоприемных, одной из важнейших операций является выделение полезного сигнала из всевозможных побочных сигналов и помех. Эти функции выполняются электрическими колебательными системами, основным элементом которых является колебательный контур. При изучении свойств колебательного контура главное внимание обращается на его резонансные свойства, которые и определяют его частотную избирательность. В зависимости от способа включения элементов колебательного контура индуктивности L и емкости С по отношению к внешнему источнику возбуждения различают последовательный и параллельный колебательные контуры.
При отсутствии внешнего возбуждения в колебательном контуре с первоначально запасенной энергией электрического поля в конденсаторе или магнитного поля в индуктивности возможно существование свободных колебаний.
Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из индуктивности L, емкости C и активного сопротивления R (рис. 2.11). Если предварительно зарядить конденсатор C, а затем в начальный момент времени t=0 замкнуть его на цепь, состоящую из последовательно включенных элементов L и R, то в таком контуре будет идти процесс периодического преобразования электрической энергии в магнитную и наоборот. В этом случае функция, описывающая внешнее воздействие при любых t 0, равна нулю и уравнение Кирхгофа для такой цепи имеет вид
. (2.27)
После дифференцирования обеих частей соотношения (2.27) по времени и деления на L приходим к следующему дифференциальному уравнению для тока в контуре
. (2.28)
Введем следующие параметры:
или .(2.29)Тогда с учетом соотношений (2.29) уравнение (2.28) принимает вид
.(2.30)Решение этого дифференциального уравнения будем искать в виде
,(2.31)где Z – некоторая новая переменная. Подстановка решения (2.31) в (2.30) приводит к следующему уравнению:
(2.32)Обозначим
(2.33)С учетом обозначения (2.33) дифференциальное уравнение (2.32) принимает вид
(2.34)Как известно, решением колебательного уравнения (2.34) является функция вида
(2.35)После подстановки этого решения в выражение (2.31) для тока І получим окончательно
(2.36)Из уравнения (2.36) следует, что ток в колебательном контуре изменяется по гармоническому закону, причем его амплитуда с течением времени непрерывно уменьшается. Затухание амплитуды тока аналитически описывается множителем e-t. Скорость затухания собственных колебаний в контуре можно охарактеризовать отношением амплитуд тока в некоторые моменты времени t1 и t1+T, отстоящих друг от друга на период колебаний Т (рис. 2.12).
Используя формулу (2.36), находим это отношение
. (2.37)
Натуральный логарифм выражения (2.37) носит название логарифмического декремента затухания контура, и для контура с малыми потерями будет иметь вид
(2.38)
где – волновое или характеристическое сопротивление контура.
На практике вместо логарифмического декремента затухания (2.38) часто используется пропорциональная ему величина – затухание d
(2.39)где параметр Q, равный
Q=/R,(2.40)называется добротностью контура.
С энергетической точки зрения добротность контура характеризует отношение запасенной электромагнитной энергии контура при резонансе к средней энергии, теряемой в этом режиме на активном сопротивлении контура за один период изменения тока.
Добротность Q контура с малым затуханием можно оценить путем подсчета по осциллограмме числа периодов свободных колебаний в контуре m за интервал времени, в течение которого амплитуда собственных колебаний контура уменьшается, например, в два раза. Тогда согласно соотношению (2.37) или emТ=2, откуда mТ=ln2. При этом логарифмический декремент затухания на основании формулы (2.38) будет равен =T=ln2/m, а затухание d выразится как d=/=ln2/m. Отсюда добротность контура будет равна
.(2.41)2.5. Последовательный колебательный контур
Последовательный колебательный контур (рис. 2.13) образуется при последовательном включении емкости C, индуктивности L и генератора эдс e(t). Обычно для учета всех активных потерь в контуре на схемах включают эквивалентное сопротивление R. Будем считать в дальнейшем эдс гармонической, а внутреннее сопротивление генератора Ri=0. В этом случае все частотные характеристики контура называются предельными. Влияние внутреннего сопротивления источника эдс на параметры контура будет рассмотрено дополнительно.
Для цепи, изображенной на рис. 2.13, можно записать уравнение Кирхгофа в комплексном виде
,(2.42)где , . Здесь Em и Im – амплитуды, и – комплексные амплитуды, соответственно эдс и тока. Тогда согласно методу комплексных амплитуд на основании (2.42) получим
.(2.43)В выражении (2.43)
(2.44)называют комплексным входным сопротивлением, в котором величина
(2.45)является его реактивной составляющей. ФЧХ контура при этом определяется зависимостью
.(2.46)Рассмотрим зависимость входного сопротивления последовательного колебательного контура от частоты генератора. На рис. 2.14 построены зависимости ХL=L и –ХC= –1/C, а также X=XL+(–XC) как функции частоты генератора . Как видно из рисунка, характер сопротивления контура определяется соотношением между ХL и ХC. Так, для частот <0 выполняется неравенство XLC, и характер сопротивления контура емкостный, а при >0 – неравенство ХL>ХC, и характер сопротивления контура индуктивный. С практической точки зрения случай =0, когда XL=XC, представляет наибольший интерес, поскольку соответствует условию резонанса.
Итак, при резонансе Х=0 или отсюда . Амплитуда тока при резонансе достигает максимума и равна I0=Em/R. Напряжения на реактивных элементах L и C соответственно имеют значения и т. е. напряжения на индуктивности и емкости при резонансе в последовательном колебательном контуре равны по модулю, сдвинуты по фазе на и в Q раз больше, чем эдс источника.
Преобразуем реактивную составляющую входного сопротивления последовательного контура с учетом того, что 0L= и 0= 1/ . Тогда
,(2.47)а выражение для тангенса сдвига фаз на основании (2.46) имеет вид
.(2.48)Введенный здесь параметр называется обобщенной расстройкой.
На практике наибольший интерес представляют характеристики контура в области частот, близких к резонансной частоте 0. В этом случае справедливо приближенное равенство где – абсолютная расстройка. Для области малых абсолютных расстроек выражения (2.47) и (2.48) принимают вид
(2.49)
(2.50)и тогда модуль входного сопротивления контура Z() будет равен
.(2.51)На рис. 2.15 приведены графики зависимости от величины относительной расстройки 0 входного сопротивления контура Z() и его фазовой характеристики ()=arctg 2Q0.
Нормированную частотную зависимость (резонансную характеристику или резонансную кривую) тока в цепи последовательного коле-бательного контура можно получить делением величины Im на I0, и с учетом вышеизложенного эта зависимость будет иметь вид
(2.52)На рис. 2.16 показано семейство кривых (2.52) при разных значениях параметра Q, в случае, когда Q1>Q2>Q3.
Найдем связь между полосой пропускания последовательного контура и его добротностью. Полагая, что ординаты резонансной характеристики контура на границах его полосы пропускания уменьшаются в раз по сравнению с их значением при резонансе, приходим к следующему простому соотношению:
,(2.53)где 2 или 2f – полоса пропускания контура, откуда
.
В реальных схемах сопротивление источника сигнала Ri 0, поэтому на эквивалентных схемах такой источник обычно заменяют генератором с эдс e(t) и внутренним сопротивлением Ri. В этом случае схема последовательного контура принимает вид, представленный на рис. 2.17. Эквивалентная добротность такого контура
(2.54)Соответственно этому уравнение резонансной кривой нормированного тока такого контура принимает следующий вид:
(2.55)Сравнительный анализ выражений (2.54) и (2.40), а также (2.55) и (2.52) показывает, что различие между ними уменьшается, если Ri0. Это означает, что последовательный контур обладает наилучшими резонансными свойствами в том случае, если Ri<.
2.6. Параллельный колебательный контур
Параллельным колебательным контуром называется цепь, состоящая из параллельно включенных индуктивности L, емкости C и генератора эдс. Если заменить индуктивность L и емкость C соответствующими эквивалентными элементами, состоящими из последовательно включенных L и rL для индуктивности и C и rC для конденсатора, то приходим к схеме параллельного контура, представленной на рис. 2.18. Рассмотрим предварительно предельные характеристики такого параллельного контура. Они реализуются, если к контуру подключить источник тока с внутренним сопротивлением Ri. Влияние величины Ri на параметры контура будет проанализировано ниже.
Для входного сопротивления контура запишем очевидное равенство
(2.56)Резонансную частоту можно найти, если приравнять к нулю мнимую часть выражения (2.56), а именно ее числитель
(2.57)Тогда решение уравнения (2.57) относительно p дает
.(2.58)С учетом того, что , а , соотношение (2.58) принимает вид:
(2.59)Простейший анализ выражения (2.59) приводит к следующим выводам.
1. Если rL=rC=0 или rL=rC 0, то р=0, т. е. резонансная частота параллельного контура совпадает с резонансной частотой последовательного контура, состоящего из идентичных параллельному элементов.
2. Если rL>rC или rC=0, то р<0, а при rLC или rL=0, р>0. Таким образом, р в зависимости от соотношения между rL и rC может быть как больше, так и меньше 0.
Рассмотрим зависимость входного сопротивления параллельного колебательного контура от частоты генератора. С учетом того что, как правило, rL<<L, и rC<<1/C, выражение (2.56) можно упростить и привести его к виду
,(2.60)где R=rL+rC, а и – входные сопротивления параллельного и последовательного контуров соответственно. Как следует из соотношений (2.44) и (2.60),
=2.(2.61)Формула (2.61) позволяет сделать вывод о том, что последовательный и параллельный контуры, составленные из одинаковых элементов, являются обратными со стороны входных клемм.
Если частота генератора сопадает с резонансной частотой 0, то =0, и тогда величина будет равна
(2.62)Выражение (2.60) с учетом соотношения (2.62) можно переписать в виде
(2.63)где активная и реактивная составляющие входного сопротивления контура соответственно равны
(2.64)и
,(2.65)а его модуль
(2.66)Нормированное входное сопротивление параллельного контура находится делением величины Zвх пар на величину Rрез. Тогда будем иметь
(2.67)Формула (2.67) представляет собой уравнение граничной резонансной кривой входного сопротивления параллельного контура.
От частотной характеристики входного сопротивления параллельного контура можно перейти к частотной характеристике напряжения на нем при условии питания контура неизменным током. В самом деле, комплексная амплитуда напряжения на контуре равна
,(2.68)а отношение модуля этого напряжения к напряжению на контуре при резонансе Upез=IRрез равно
(2.69)Очевидно, что выражение (2.69) для резонансной кривой по напряжению совпадает с уравнением (2.67) резонансной кривой входного сопротивления параллельного контура.
Тангенс фазового сдвига для входного сопротивления параллельного контура на основании формул (2.64) и (2.65) равен
,(2.70)и для области малых расстроек количественно можно принять
(2.71)На рис. 2.19 приведены графики зависимости (2.66) для двух значений параметров Q (Q1>Q2) и зависимости (2.65), а также график зависимости фазового сдвига от относительной расстройки для параллельного контура в соответствии с соотношением (2.70).
Рассмотрим влияние внутреннего сопротивления генератора Ri на избирательные свойства параллельного контура. Схема контура с генератором, у которого Ri, приведена на рис. 2.18. Амплитуда напряжения в таком контуре будет равна , где и тогда
(2.72)где n=Rрез/Ri.
Модуль величины определяется формулой
(2.73)При резонансе =0 и выражение (2.73) принимает вид
(2.74)Нормированная резонансная кривая по напряжению параллельного колебательного контура с учетом внутреннего сопротивления генератора получается делением соотношения (2.73) на (2.74)
,(2.75)а с учетом соотношения (2.50) это отношение перепишется
(2.76)где эквивалентная добротность Qэ равна
.(2.77)Проанализируем выражения (2.75) – (2.77).
1. Если Ri0, то n>>1 и U/Upconst. Значит, при Ri0 напряжение
на контуре не зависит от частоты (рис. 2.20, Ri=0).
2. При Ri, n<<1 и QэQ. Следовательно, при Ri резонансная кривая приближается к предельной резонансной кривой (рис. 2.20, Ri).
3. Некоторое промежуточное значение резонансной кривой при 0<Ri показано на рис. 2.20.
Проведенный анализ показывает, что избирательные свойства параллельного контура будут выражены более резко с увеличением внутреннего сопротивления Ri генератора, питающего контур.
2.7. Связанные контуры
Простые контуры могут быть связаны между собой индуктивной, емкостной или резистивной связью. В данном разделе рассмотрим два одиночных контура, связанных с помощью индуктивной или трансформаторной связи (рис. 2.21). Для характеристики степени связи в этом случае вводится коэффициент связи kсв, который выражается через коэффициент взаимной индукции M следующим образом:
,(2.78) где L1, L2 – индуктивности катушек первого и второго контура соответственно. Параметр М имеет размерность индуктивности и характеризует степень влияния тока на величину эдс, наводимой в катушке первого контура и, наоборот, тока на величину эдс, наводимой в катушке второго контура.
На основании второго закона Кирхгофа для комплексных амплитуд рассматриваемой схемы связанных контуров (рис. 2.21) можно записать следующую систему уравнений:
(2.79)Или, вводя комплексные сопротивления и ,
(2.80)Назовем сопротивлением связи произведение и перепишем систему (2.80) в виде
(2.81)Отметим, что при согласованном включении катушек перед сопротивлением связи в формулах ставится знак «+», а при их встречном включении знак «–». При этом одноименные зажимы катушек обозначаются символом «», как это показано на рис. 2.21.
Выразим из второго уравнения системы (2.81) ток и подставим его в первое уравнение. Тогда соответственно получим: и откуда величина тока запишется следующим образом: , где – вносимое сопротивление, которое в общем виде можно представить как
.(2.82)Таким образом, на основании вышеприведенных выкладок можно сделать вывод о том, что, в частности, влияние второго контура на первый сводится к изменению эквивалентного активного и реактивного сопротивлений последнего, а именно к:
-
увеличению его эквивалентного активного сопротивления на величину Rвн. Это увеличение обусловлено рассеянием части энергии источника на активном сопротивлении второго контура;
-
изменению его эквивалентного реактивного сопротивления на величину Хвн. Это изменение связано с наводимой в данном контуре эдс взаимной индукции.
Комплексный коэффициент передачи равный по определению отношению напряжения на выходе всей цепи к напряжению генератора (см. рис. 2.21), можно представить в виде
.(2.83)Для упрощения анализа и дальнейших вычислений будем считать, что оба контура имеют равные по величине номинальные значения элементов R, L и C и в соответствии с этим равные собственные резонансные частоты р1=р2=0. Тогда в достаточно узкой полосе частот справедливо соотношение L0L=.
Используя формулы, связывающие добротность контура Q с затуханием d: Q=1/d=/R, а также реактивную составляющую входного сопротивления X с характеристическим сопротивлением и относительной расстройкой : X==2/0, так что =2/0, приведем формулу (2.83) к виду
(2.84)На основании этого выражения можно получить АЧХ связанных контуров
.(2.85)Для дальнейшего анализа определим ее экстремальные точки, приравняв к 0 производную . Таким образом, для определения экстремальных точек будем иметь следующее уравнение , решение которого дает такие значения переменной :
1=0, , .(2.86)Так как согласно точному определению относительная расстройка равна откуда ; при малых расстройках имеет место приближенное равенство
.(2.87)
страница 1
|