для студентов Ф СО ПГУ 7.18.2/06

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Павлодар
Лист утверждения к Форма

программе дисциплины Ф СО ПГУ 7.18.2/11

для студентов

Декан ФФМиИТ

___________________Тлеукенов С.К.

«__»_______________20___г.

Составитель: к.ф.-м.н., профессор ПГУ им. С.Торайгырова Муканов Г.М. ____________

Кафедра алгебры и математического анализа

«___» _________200_г.

Рекомендована на заседании кафедры «____»________200__ г. Протокол №____
Заведующий кафедрой_____________________________И.И. Павлюк

(подпись)

Одобрена учебно-методическим советом факультета

«___»___________200__г. Протокол №______

(подпись)

Заведующий кафедрой ____________________Павлюк И.И.

(подпись)

«_____»___________________200_г.

- высшая алгеба;

- геометрия;

- математически анализ.

дисциплины СО ПГУ 7.18.2/07

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ
№ п/п	Наименование тем	Количество часов
		Лекц.	Прак.	СРC
1	2	3	4	6
1	Множества	2	4
2	Топологические классы множеств	2	4
3	Мера множеств	2	4
4	Измеримые функции	2	4
5	Интеграл Лебега	3	6
6	Восстановление функции по ее производной	1	2
7	Классы функции.	2	4
8	Мера и интеграл Лебега в	1	2
ИТОГО:		15	30	90

3 Содержание теоретического курса

Лекция №1. Примеры множества различной природы. Числовые множества N, Z, Q, I, R. Операции над множествами. Функции на множествах, взаимно однозначные отображения. Эквивалентные множества. Мощность множества. Конечные, счетные множества.

Лекция №2. Множества мощности континуума. Теоремы о счетных и континуальных множествах. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна.

Тема 2 Топологические классы множеств.

Лекция №3. Открытые и замкнутые множества, их объединения и пересечения. Строение открытых и замкнутых множеств во множестве R действительных чисел и их строение.

Лекция №4. Множества всюду плотные и нигде неплотные на данном множестве. Совершенное множество. Канторовы открытое и совершенное множество.

Тема 3 Мера множества

Лекция №5. Мера открытых множеств, ее аддитивное свойство. Внешняя мера на R, ее монотонность и счетная полуаддитивность. Определение меры Лебега для числовых множеств. Множество меры нуль и связанные с ним свойства. Примеры простейших измеримых множеств.

Лекция №6. Измеримость множества по Каратеодори. Эквивалентность различных определений измеримости множества. Доказательство замкнутости системы всех измеримых множеств относительно конечных и счетных операций.

Тема 4 Измеримые функции

Лекция №7. Определение и простейшие примкры измеримых функций. Измеримость суммы, пройзведения и частного измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере последовательности измеримых функций. Измеримость предела последовательности, сходящейся почти всюду.

Лекция №8. Основные виды сходимостей (всюду, равномерная, почти всюду и по мере) и их сравнение.

Тема 5 Интеграл Лебега

Лекция №9. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции на множестве конечной меры и его существование. Основные свойства. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

Лекция №10.. Функций ограниченной вариации и их свойства. Абсолютно непрерывные функции и их свойства

Лекция №11. Мера Лебега-Стилтьеса. Интегралы Лебега-Стилтьеса и Римана-Стилтьеса.

Лекция №12. Абсолютная непрерывность неопределенного интеграла Лебега. Теорема Лебега о восстановлении абсолютно непрерывной функции по ее пройзводной. Граница применимости формулы Ньютона-Лейбница.

Лекция №13. Класс суммируемых по Лебегу функций. Шкала лебеговских классов. Сходимость последовательности измеримых функций в среднем.

Лекция №14. Сравнение сходимости в среднем с другими видами сходимостей. Класс функций, суммируемых в среднем квадратическом.

Тема 8 Мера и интеграл Лебега в пространстве

Лекция №15. Функции многих переменных, определенные на множествах конечномерного действительного пространства. Произведение линейных мер. Суммируемые функции многих переменных. Теорема Фубини.

Вопросы, подлежащие освоению:

* понятие множества (на примерах N, Z, Q, I, R и другие);

* операции над множествами.

* Решение примеров. [8] 1 – 25 (решить 5, 6 примеров по выбору);

Литература [1], 17 – 21.

Вопросы, подлежащие освоению:

* взаимно однозначное отображение;

* эквивалентные множества;.

* Решение примеров. [8] 27 – 44 (решить 5, 6 примеров по выбору );

Литература [1], 21 – 26.

Вопросы, подлежащие освоению:

* понятие мощности множества;

* конечная мощность;

* счетная мощность;

* свойства счетной мощности;

* Решение примеров. [8] 61 – 68 (решить 5, 6 примеров пл выбору);

Литература [1], 26 – 30.

Вопросы, подлежащие освоению:

* множество мощности континуума;

* сравнение мощностей (определение нонятий: «больше», «меньше» и «равно» между мощностями);

* доказательство того, что мощность континуума больше счетной мощности;

* теорема Кантора-Бернштейна;

* теорема о неограниченности совокупности всех мощностей;

* континуум - гипотеза Кантора

* Решение примеров. [8] 27 – 44 (решить 5, 6 примеров по выбору.);

Литература [1], 30 – 34.

Вопросы, подлежащие освоению:

* основные типы точек (точка прикосновения, предельная точка, точка еонденсеции, изолированная точка, внутренняя точка, внешняя точка, граничная точка);

* окрестность точки числовой прямой;

* основные типы множеств (открвтые, замкнутые, всюду плотные, плотные в себе, совершенные);

* Канторово совершенное множество , его мощность.

* Решение примеров. [8] 225.

Литература [1], 67 – 78, 288 – 303.

Вопросы, подлежащие освоению:

* Канторово открытое множество Р как дополнение Каторово совершенного множества Р₀ до сегмента [0,1]

_{* Структура ограниченного открытого, Замкнутого и совнршенного множества.}

* Решение примеров. [8] 213 - 216.

Литература [1], 288 – 303.

Занятие №7

Вопросы, подлежащие освоению:

* всюду плотные множества;

* нигде неплотные множества;

* нигде неплотность канторова совершенного множества.

* Решение примеров. [8] 217 – 220.

Литература [1], 288 – 323

Занятие №8

Вопросы, подлежащие освоению:

* Арифметическая структура канторво совершенного множества.

* Решение примеров. [8] 225 – 230.

Литература [1], 288 – 323.
Тема 3 Мера множеств

Занятие №9

Вопросы, подлежащие освоению:

* мера открытых множеств;

* аддитивность меры открытого множества;

* Внешняя мера на R;

* счетная полуаддитивность внешней меры;

* Решение примеров. [8] 408 – 411.

Литература [1], 288 – 323.

Вопросы, подлежащие освоению:

* определение меры Лебега для числовых множеств;

* множество меры нуль и связанные с ним свойства;

* примеры простейших измеримых множеств;

* Решение примеров. [8] 416 – 418.

Литература [1], 288 – 323.

Занятие №11

Вопросы, подлежащие освоению:

* измеримость множеств по Каратеодори;

* Эквивалентность различнвх определений измеримости множеств.

* Решение примеров. [8] 419, 420.

Литература [1], 323 – 334.

Вопросы, подлежащие освоению:

* Доказательство замкнутости системы всех измеримых множеств относительно конечных и счетных операций.

* Решение примеров. [8] 421 – 425. Литература [1], 323 – 334.

Вопросы, подлежащие освоению:

* определение измеримой функции;

* измеримость суммы измеримых функций;

* пройзведения и частного измеримых функций.

* Решение примеров. [8] 679 – 685.

Литература [1], 323 – 334.

Занятие №14

Вопросы, подлежащие освоению:

* сходимость последовательности почти всюду;

* сходимость последовательности по мере;

* сходимость последоательности всюду;

* равномерная сходимость последовательности;

* Решение примеров. [8] 696, 699.

Литература [1], 323 – 334.

Вопросы, подлежащие освоению:

* измеримость предела последовательности, сходящейися почти всюду.

* сравнение сходимости по мере со сходимостию почти всюду (теорема Лебнга, пример Рисса, теорема Рисса).

* Решение примеров № 699, 700.

Литература [1], 323 – 334.

Вопросы, подлежащие освоению:

* сравнение сходимости пости вюду с равномерной сходимостью (т. Егорова Д.Ф.);

* сруктура измеримой функции (т. Лузина Н.Н., или С-свойство).

Литература [1], 323 – 334.
Тема 5 Интеграл Лебега

Занятие №17

Вопросы, подлежащие освоению:

* определение интеграла Лебега от ограниченной функции;

* основные свойства интеграла Лебега;

* Решение примеров. [8] 710, 709, 710.

Литература [1], 334 – 355.

Вопросы, подлежащие освоению:

* существование интеграла Лебега от измеримой ограничнной функции;

* Решение примеров. [8] 713, 714.

Литература [1], 334 – 355.

Занятие №19

Вопросы, подлежащие освоению:

* сравнение интегала Лебега с интегралом Римана.

* Решение примеров. [8] Решить примеры: № 715 – 718

Литература [1], 334 – 355.

Занятие №20

Вопросы, подлежащие освоению:

* интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции;

* суммируемые функции любого знака.

* Решение примеров. [8] 719, 723 – 725.

Литература [1], 334 – 355.

Вопросы, подлежащие освоению:

* предельный переход под знаком интеграла Лебега.

* Решение примеров. [8] 732 – 735.

Литература [1], 334 – 355.

Занятие №22

Вопросы, подлежащие освоению:

* функции с ограниченным иизменением;

* мера Лебега-Стилтьеса;

* интеграл Лебега-Стилтьеса;

* интеграл Римана-Стилтьеса.

* Решение примеров. [8] 736, 745, 746.

Литература [1], 368 – 423.

Вопросы, подлежащие освоению:

* представимость монотонной функции как разность двух монотонно неубыващих функции;

* абсолютно непрерывная функция;

* функция скачков;

* сингулярная функция;

* представимлсть функции с ограниченным изменением в виде суммы трех компанент – функции скачков, абсолютно непрерывной функции и сингулярной функции.

Литература [1], 368 – 423.

Вопросы, подлежащие освоению:

* восстановление функции по ее производной;

* граница применимости формулы Ньютона-Лейбница.

* Решение примеров. [8] 1 – 25 (решить примеры :№ 27 – 44, по выбору 5, 6 пр.);

Литература [1], 368 – 423.

Вопросы, подлежащие освоению:

* класс интегрируемых по Лебегу функций;

* классы функций Лебега ;

* сходимость последовательности суммируемых по Лебегу функций в среднем;

* сравнение сходимости в среднем со сходимостью по мере.

* Решение примеров. [8] 1 – 25 (решить примеры :№ 27 – 44, по выбору 5, 6 пр.);

Литература [1], 368 – 423.

Вопросы, подлежащие освоению:

* сходимость в классе функций с суммируемым квадратом;

* сравнение сходимости в среднеквадратическом с другими видами сходимости.

* Решение примеров. [8] 1 – 25 (решить примеры :№ 27 – 44, по выбору 5, 6 пр.);

Литература [1], 368 – 423.

Вопросы, подлежащие освоению:

* тригонометрическая система функций;

* коэффициенты Фурье функции с суммируемым квадратом;

* ряд Фурье функции с суммируемым квадратом.

* Решение примеров. [8] 1 – 25 (решить примеры :№ 27 – 44, по выбору 5, 6 пр.);

Литература [1], 368 – 423.

Занятие №28

Вопросы, подлежащие освоению:

* примеры на разложение функции в ряд Фурье.

* Решение примеров. [8] 1 – 25 (решить примеры :№ 27 – 44, по выбору 5, 6 пр.);

Литература [1], 368 – 423.
Тема 8 Мера и интеграл Лебега в Rⁿ

Занятие №29

Вопросы, подлежащие освоению:

* функции, определенные на множествах пространства Rⁿ;

* произведение линейных мер;

* определение кратного интеграла.

* Решение примеров. [8] 1 – 25 (решить примеры :№ 27 – 44, по выбору 5, 6 пр.);

Литература [1], 355 –363.

Занятие №30

Вопросы, подлежащие освоению:

* суммируемые функции многих переменных;

* теорема Фубини.

* Решение примеров. [8] 1 – 25 (решить примеры :№ 27 – 44, по выбору 5, 6 пр.);

Литература [1], 355 – 363.

Тема 1 Множества

Лекция №1. Примеры множества различной природы. Числовые множества N, Z, Q, I, R. Операции над множествами. Функции на множествах, взаимно однозначные отображения. Эквивалентные множества. Мощность множества. Конечные, счетные множества.

Лекция №2. Множества мощности континуума. Теоремы о счетных и континуальных множествах. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [3]

Тема 2 Топологические классы множеств.

Лекция №3. Открытые и замкнутые множества, их объединения и пересечения. Строение открытых и замкнутых множеств во множестве R действительных чисел и их строение.

Лекция №4. Множества всюду плотные и нигде неплотные на данном множестве. Совершенное множество. Канторовы открытое и совершенное множество.

Рекомендуемая литература: [2], [3], [4]

Тема 3 Мера множества

Лекция №5. Мера открытых множеств, ее аддитивное свойство. Внешняя мера на R, ее монотонность и счетная полуаддитивность. Определение меры Лебега для числовых множеств. Множество меры нуль и связанные с ним свойства. Примеры простейших измеримых множеств.

Лекция №6. Измеримость множества по Каратеодори. Эквивалентность различных определений измеримости множества. Доказательство замкнутости системы всех измеримых множеств относительно конечных и счетных операций.

Рекомендуемая литература: [1], [2], [3]

Тема 4 Измеримые функции

Лекция №7. Определение и простейшие примкры измеримых функций. Измеримость суммы, пройзведения и частного измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере последовательности измеримых функций. Измеримость предела последовательности, сходящейся почти всюду.

Лекция №8. Основные виды сходимостей (всюду, равномерная, почти всюду и по мере) и их сравнение.

Рекомендуемая литература: [4], [5], [6]

Тема 5 Интеграл Лебега

Лекция №9. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции на множестве конечной меры и его существование. Основные свойства. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

Лекция №10.. Функций ограниченной вариации и их свойства. Абсолютно непрерывные функции и их свойства

Лекция №11. Мера Лебега-Стилтьеса. Интегралы Лебега-Стилтьеса и Римана-Стилтьеса.

Рекомендуемая литература: [3], [4], [6]

Тема 6 Восстановление функции по ее производной

Лекция №12. Абсолютная непрерывность неопределенного интеграла Лебега. Теорема Лебега о восстановлении абсолютно непрерывной функции по ее пройзводной. Граница применимости формулы Ньютона-Лейбница.

Рекомендуемая литература: [6], [7], [8]

Тема 7 Классы функций

Лекция №13. Класс суммируемых по Лебегу функций. Шкала лебеговских классов. Сходимость последовательности измеримых функций в среднем.

Лекция №14. Сравнение сходимости в среднем с другими видами сходимостей. Класс функций, суммируемых в среднем квадратическом.

Рекомендуемая литература: [3], [5], [7]

Тема 8 Мера и интеграл Лебега в пространстве

Лекция №15. Функции многих переменных, определенные на множествах конечномерного действительного пространства. Произведение линейных мер. Суммируемые функции многих переменных. Теорема Фубини.

Рекомендуемая литература: [7], [8], [9]

1. 
   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1989.
   
2. 
   Натансон И.П. Терия функций вещественной переменной. М: Наука, 1974.
   
3. 
   Дьяченко М.И. , Ульянов П.П. Мера и интеграл. М: Факторная, 1998.
   
4. 
   Теміргалиев Н. Математикалық анализ, т.2. Алматы: Ана тілі, 1991.
   
5. 
   Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного . - М.: ГУНИ,
   
6. 
   Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного . - М.: Наука, 1971.
   
7. 
   Толстов Г.П. Мера и интеграл. – М.: Наука, 1976.
   
8. 
   Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. М. 1981.
   
9. 
   Теляковский С.А. Сборник задач по теории функций действительного переменного. М: Наука, 1980.
   

10. 
    Александров П.С. ВВедение в теорию множеств и общую топологию.М,1977.
    
11. 
    Хаусдорф Ф. Терия множеств. М. ОНТИ, 1937.
    
12. 
    Халмош П. Теория меры. М: ИЛ, 1953.
    
13. 
    Сахс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.
    
14. 
    Рудин У. Основы математическогго анлиза. М. : Мир, 1966.
    
15. 
    Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд . М.: ГИТТЛ, 1951.
    
16. 
    Камне Е. Интеграл Лебега- Стилтьеса. М.: Физматгиз, 1959.
    

учебного плана Ф СО ПГУ 7.18.1/10

специальности(ей)

Выписка из рабочего учебного плана специальности

050601 Математика

Наименование дисциплины Действительный анализ

В политике курса выполнение всех практических и самостоятельных заданий являются обязательным условием.

Посещение занятий является обязательным. Уважительные причины пропуска занятий не освобождают студента от выполнения всего комплекса практических и самостоятельных работ.

В случае опоздания на занятие студент не допускается к занятию.

За любые нарушения правил поведения на занятиях устанавливаются штрафные санкции — вычитается 5 баллов за одно занятие!

Все аудиторное время будет поделено на лекции, выполнение практических работ. Подготовка к каждому занятию обязательна, также как и прочтение всего заданного материала. Ваша подготовка будет проверяться контрольными работами, тестами и заданиями рубежного контроля.

Самостоятельная работа должна быть выполнена соответственно вашему варианту, иначе работа не будет зачтена. Вариант задания указывает преподаватель.

Все задания должны выполняться к установленному времени. Задания, выполненные с опозданием, будут автоматически оцениваться ниже. Списывание на любом из видов контроля, а также на экзамене запрещено. Штрафные санкции составят в этом случае 80% от балла за данный вид контроля.

Если в силу каких-либо причин вы отсутствовали во время проведения контрольного мероприятия, вам предоставляется возможность пройти его на консультациях преподавателя в течении одной последующей недели в соответствии с установленным графиком.

Оценка рубежного контроля (РК) так же определяется по 100

По итогам оценки ТУ и РК определяется рейтинг (Р1 и Р2) студента

Р1(2) = ТУ 1(2)*0,7 + РК1(2)*0,3.

Если в учебном плане предусмотрены экзамен и зачёт, то зачёт следует учесть при определении Р2 как второй рубежный контроль.

Рейтинг не определяется, если студент не прошел РК или получил по РК менее 50 баллов. В данном случае декан устанавливает индивидуальные сроки сдачи РК.

Оценка рейтинга допуска студента по дисциплине за семестр равна

выполнившие все требования рабочей учебной программы (выполнение и сдача всех лабораторных работ, работ и заданий по СРС), получившие положительную оценку за защиту курсового проекта (работы) и набравшие рейтинг допуска (не менее 50 баллов).

Уровень учебных достижений студентов по каждой дисциплине (в
том числе и по дисциплинам, по которым формой итогового контроля ГЭ)
определяется итоговой оценкой (И), которая складывается из оценок РД и
ИК (экзамена, дифференцированного зачета или курсовой работы/проекта) с
учетом их весовых долей (ВДРД и ВДИК).
И = РД*0,6 + ИК*0,6
Итоговая оценка по дисциплине подсчитывается только в том случае,
если обучающийся имеет положительные оценки, как по рейтингу допуска,
так и по итоговому контролю. Не явка на итоговый контроль по
неуважительной причине приравнивается к оценке «не удовлетворительно».
Результаты экзамена и промежуточной аттестации по дисциплине доводятся
до студентов в тот же день или на следующий день, если письменный
экзамен проводился во второй половине дня.

Пересдача положительной оценки по итоговому контролю (в том
числе на ГЭ) с целью ее повышения не разрешается.

Виды контроля: ПР – практическая работа, СРС- самостоятельная работа студента, РК – рубежный контроль