Меню
  
Смотрите также:



 Главная   »  
страница 1

РД БГУ УПрД - 0001 – 2001





РУКОВОДЯЩИЙ ДОКУМЕНТ

Белорусского государственного университета

___________________________________________




Одобрена

Научно-методическим советом

Белорусского государственного университета

Протокол № 1 от “ 11 ” __июня __ 2001 г.

УТВЕРЖДАЮ

Ректор Белгосуниверситета

профессор

Козулин А.В.

“__12__” _______ июня_________ 2001 г.


УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО


© БГУ (Электронный документ)

Минск
Предисловие
1. РАЗРАБОТАНА Белорусским государственным университетом
ИСПОЛНИТЕЛИ:

Зверович Э.И. – доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций БГУ

Толочко М.Э. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций БГУ
Рогозин С.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций БГУ

ВНЕСЕНА Кафедрой теории функций БГУ и Главным управлением учебной и научно-методической работы Белорусского государственного университета

ОДОБРЕНА Научно-методическим советом Белорусского государственного университета (Протокол от 11.06.01 № 1 )
2. УТВЕРЖДЕНА И ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ приказом Ректора Белорусского государственного университета от 12.06.01 № с 01. 09_.2001 г.
3 ВВЕДЕНА ВПЕРВЫЕ

© БГУ (Электронный документ)

Настоящий руководящий документ (учебная программа дисциплины) не может быть тиражирован и распространен без разрешения Белорусского государственного университета.

_____________________________________________________________________________

Издан на русском языке

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Курс «теория функций комплексного переменного» относится к числу базовых дисциплин, составляющих основу математического образования. Этот курс тесно связан с такими дисциплинами как «математический анализ», «дифференциальные уравнения», «функциональный анализ и интегральные уравнения», «уравнения математической физики». В материале данного курса изучается аппарат некоторых классических и современных разделов естествознания. Освоение

курса «теория функций комплексного переменного» позволит студентам самостоятельно решать теоретические и прикладные задачи современного анализа.

" Теория функций комплексного переменного "

Цель курса " Теория функций комплексного переменного ": повышение уровня профессиональной компетентности студентов, формирование понятия о технических возможностях одного из разделов современного анализа.

Образовательная цель: изложение основ комплексного анализа и возможностей его использования в моделях классического и современного естествознания

Развивающая цель: формирование у студентов умений использования технических возможностей комплексного анализа, самостоятельного построения и исследования математических моделей.

Тематический план курса "Теория функций комплексного переменного"




Наименование тем и разделов

Распределение часов по видам занятий







Всего

Лекции

Практ.

КСР

1

2

3

4

5

6




1 семестр

1

Введение в комплексный анализ

14

6

6

2

2

Функции комплексного переменного

18

8

8

2

3

Элементарные аналитические функции и соответствующие им конформные отображения

36

16

16

4




Всего за семестр

68

30

экзамен


30

зачет


8




2 семестр

4

Интегрирование функций комплексного переменного


10

6

4




5

Последовательности и ряды аналитических функций


10

4

4

2

6

Ряд Лорана и особые точки однозначного характера


14

6

6

2

7

Теория вычетов и ее приложения


26

6

16

4

8

Теория аналитического продолжения


4

4

-




9

Целые и мероморфные функции


4

4

-





Всего за семестр


68

30

экзамен


30

зачет


8



Тема 1. Введение в комплексный анализ


Предмет теории функций комплексного переменного. Основные определения и факты, связанные с комплексными числами. Топология комплексной плоскости.

Тема 2. Функции комплексного переменного


Формы задания функций комплексного переменного и их геометрическое изображение. Предел функции. Различные формы непрерывности.

Кривые и области на комплексной плоскости. Область с краем. Непрерывность функции в области с краем.

Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.

Гармонические функции, их связь с аналитическими. Принцип максимума, теорема единственности, теорема о среднем. Интегралы Пуассона и Шварца.

Понятие о конформных отображениях. Однолистность. Принцип сохранения области. Критерий локальной однолистности. Понятие о теореме Римана и о соответствии границ при конформном отображении. Понятие о многозначных аналитических функциях, их точках ветвления и римановых поверхностях.

Тема 3. Элементарные аналитические функции и соответствующие им конформные отображения

Линейная и дробно-линейная функции. Конформность и групповое свойство. Круговое свойство. Неподвижные точки. Сохранение симметрии.


Степенная функция.

Функция Жуковского. Профили Жуковского.

Показательная функция и комплексный логарифм.

Тригонометрические и гиперболические функции.



Тема 4. Интегрирование функций комплексного переменного


Пути и кривые на плоскости. Интеграл по комплексному переменному. Первообразная, формула Ньютона – Лейбница.

Интегральная теорема Коши для простого и составного контуров. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных аналитических функций. Теорема Морера.


Тема 5. Последовательности и ряды аналитических функций

Функциональные последовательности и ряды. Виды сходимости. Сходимость, равномерная внутри области. Теорема Вейерштрасса о последовательностях и рядах аналитических функций.



Степенной ряд, теорема Абеля. Радиус сходимости. Формула Коши – Адамара. Аналитичность суммы степенного ряда. Разложение аналитической функции в степенной ряд, единственность разложения, ряд Тейлора. Действия со степенными рядами.

Нули аналитической функции, порядок нуля. Теорема единственности для аналитических функций. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца.


Тема 6. Ряд Лорана и особые точки однозначного характера


Ряд Лорана, область его сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Лорана, единственность разложения. Формулы для коэффициентов разложения, неравенства Коши.

Теорема об устранимой особой точке и теорема Лиувилля. Классификация изолированных особых точек однозначного характера. Полюс и существенно особая точка, различные их определения. Случай бесконечно удаленной точки. Теорема Сохоцкого, понятие о теореме Пикара.


Тема 7. Теория вычетов и ее приложения


Определение вычета, теорема о вычетах. Формулы для вычисления вычетов. Применение к вычислению интегралов. Логарифмический вычет, принцип аргумента. Теорема Руше, теорема Гурвица.

Тема 8. Теория аналитических продолжений


Аналитический элемент и его продолжение. Аналитическое продолжение вдоль пути. Полная аналитическая функция в смысл Вейерштрасса, понятие о ее римановой поверхности. Изолированные особые точки многозначного характера. Аналитическое продолжение через границу области. Принцип симметрии. Формула Кристоффеля-Шварца.

Тема 9. Целые и мероморфные функции


Порядок и тип целой функции. Теорема Вейерштрасса. Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера.

ЛИТЕРАТУРА

по курсу " Теория функций комплексного переменного "

Основная

  1. Ю.В. Сидоров, М.Ф. Федорюк, М.И Шабунин. Лекции по ТФКП. М.,Наука, 1989.

  2. Шабат Б. В. Введение в теорию функций комплексный анализ. Ч.I. М.: Наука, 1976.

  3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

  4. Л.И.Волковысский, Г.Л.Лунц, И.Г.Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М. Наука, 1970.

Шабат Б. В. Введение в теорию функций комплексный анализ. Ч.I. М.: Наука, 1976.


Дополнительная





  1. А.И.Маркушевич. Теории аналитических функций. Т.1,2.М.,Наука,1968.

  2. М. А. Евграфов Аналитические функции. М., Наука,1968 и др. издания.

  3. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М., Наука,1974 и др. издания.

  4. Сборник задач по теории аналитических функций / Под ред. Евграфова М. А.,

М., 1972.

  1. А.Гурвиц, Р.Курант. Теория функций. М., Наука,1968.

А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М., 1974.



Утверждена на заседании кафедры теории функций « 16_» __10___ 2001г.

Заведующий кафедрой теории функций

профессор А.А. Килбас

Разработчики:

Кафедра теории функций

Белорусского государственного университета

Зав. кафедрой, профессор А.А. Килбас

Согласована:

Управление учебной и научно-методической работы

Белорусского государственного университета

Начальник В.В.Самохвал








страница 1
скачать файл

Смотрите также: