страница 1
РД БГУ УПрД - 0001 – 2001
|
РУКОВОДЯЩИЙ ДОКУМЕНТ
Белорусского государственного университета
___________________________________________
|
|
Одобрена
Научно-методическим советом
Белорусского государственного университета
Протокол № 1 от “ 11 ” __июня __ 2001 г.
|
УТВЕРЖДАЮ
Ректор Белгосуниверситета
профессор
Козулин А.В.
“__12__” _______ июня_________ 2001 г.
|
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
© БГУ (Электронный документ)
Минск
Предисловие
1. РАЗРАБОТАНА Белорусским государственным университетом
ИСПОЛНИТЕЛИ:
Зверович Э.И. – доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций БГУ
Толочко М.Э. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций БГУ
Рогозин С.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций БГУ
ВНЕСЕНА Кафедрой теории функций БГУ и Главным управлением учебной и научно-методической работы Белорусского государственного университета
ОДОБРЕНА Научно-методическим советом Белорусского государственного университета (Протокол от 11.06.01 № 1 )
2. УТВЕРЖДЕНА И ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ приказом Ректора Белорусского государственного университета от 12.06.01 № с 01. 09_.2001 г.
3 ВВЕДЕНА ВПЕРВЫЕ
© БГУ (Электронный документ)
Настоящий руководящий документ (учебная программа дисциплины) не может быть тиражирован и распространен без разрешения Белорусского государственного университета.
_____________________________________________________________________________
Издан на русском языке
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Курс «теория функций комплексного переменного» относится к числу базовых дисциплин, составляющих основу математического образования. Этот курс тесно связан с такими дисциплинами как «математический анализ», «дифференциальные уравнения», «функциональный анализ и интегральные уравнения», «уравнения математической физики». В материале данного курса изучается аппарат некоторых классических и современных разделов естествознания. Освоение
курса «теория функций комплексного переменного» позволит студентам самостоятельно решать теоретические и прикладные задачи современного анализа.
" Теория функций комплексного переменного "
Цель курса " Теория функций комплексного переменного ": повышение уровня профессиональной компетентности студентов, формирование понятия о технических возможностях одного из разделов современного анализа.
Образовательная цель: изложение основ комплексного анализа и возможностей его использования в моделях классического и современного естествознания
Развивающая цель: формирование у студентов умений использования технических возможностей комплексного анализа, самостоятельного построения и исследования математических моделей.
Тематический план курса "Теория функций комплексного переменного"
|
№
|
Наименование тем и разделов
|
Распределение часов по видам занятий
|
|
|
Всего
|
Лекции
|
Практ.
|
КСР
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1 семестр
|
1
|
Введение в комплексный анализ
|
14
|
6
|
6
|
2
|
2
|
Функции комплексного переменного
|
18
|
8
|
8
|
2
|
3
|
Элементарные аналитические функции и соответствующие им конформные отображения
|
36
|
16
|
16
|
4
|
|
Всего за семестр
|
68
|
30
экзамен
|
30
зачет
|
8
|
|
2 семестр
|
4
| Интегрирование функций комплексного переменного |
10
|
6
|
4
|
|
5
| Последовательности и ряды аналитических функций |
10
|
4
|
4
|
2
|
6
| Ряд Лорана и особые точки однозначного характера |
14
|
6
|
6
|
2
|
7
| Теория вычетов и ее приложения |
26
|
6
|
16
|
4
|
8
| Теория аналитического продолжения |
4
|
4
|
-
|
|
9
| Целые и мероморфные функции |
4
|
4
|
-
|
|
| Всего за семестр |
68
|
30
экзамен
|
30
зачет
|
8
|
Тема 1. Введение в комплексный анализ
Предмет теории функций комплексного переменного. Основные определения и факты, связанные с комплексными числами. Топология комплексной плоскости.
Тема 2. Функции комплексного переменного
Формы задания функций комплексного переменного и их геометрическое изображение. Предел функции. Различные формы непрерывности.
Кривые и области на комплексной плоскости. Область с краем. Непрерывность функции в области с краем.
Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
Гармонические функции, их связь с аналитическими. Принцип максимума, теорема единственности, теорема о среднем. Интегралы Пуассона и Шварца.
Понятие о конформных отображениях. Однолистность. Принцип сохранения области. Критерий локальной однолистности. Понятие о теореме Римана и о соответствии границ при конформном отображении. Понятие о многозначных аналитических функциях, их точках ветвления и римановых поверхностях.
Тема 3. Элементарные аналитические функции и соответствующие им конформные отображения Линейная и дробно-линейная функции. Конформность и групповое свойство. Круговое свойство. Неподвижные точки. Сохранение симметрии.
Степенная функция.
Функция Жуковского. Профили Жуковского.
Показательная функция и комплексный логарифм.
Тригонометрические и гиперболические функции.
Тема 4. Интегрирование функций комплексного переменного
Пути и кривые на плоскости. Интеграл по комплексному переменному. Первообразная, формула Ньютона – Лейбница.
Интегральная теорема Коши для простого и составного контуров. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных аналитических функций. Теорема Морера.
Тема 5. Последовательности и ряды аналитических функций
Функциональные последовательности и ряды. Виды сходимости. Сходимость, равномерная внутри области. Теорема Вейерштрасса о последовательностях и рядах аналитических функций.
Степенной ряд, теорема Абеля. Радиус сходимости. Формула Коши – Адамара. Аналитичность суммы степенного ряда. Разложение аналитической функции в степенной ряд, единственность разложения, ряд Тейлора. Действия со степенными рядами.
Нули аналитической функции, порядок нуля. Теорема единственности для аналитических функций. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца.
Тема 6. Ряд Лорана и особые точки однозначного характера
Ряд Лорана, область его сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Лорана, единственность разложения. Формулы для коэффициентов разложения, неравенства Коши.
Теорема об устранимой особой точке и теорема Лиувилля. Классификация изолированных особых точек однозначного характера. Полюс и существенно особая точка, различные их определения. Случай бесконечно удаленной точки. Теорема Сохоцкого, понятие о теореме Пикара.
Тема 7. Теория вычетов и ее приложения
Определение вычета, теорема о вычетах. Формулы для вычисления вычетов. Применение к вычислению интегралов. Логарифмический вычет, принцип аргумента. Теорема Руше, теорема Гурвица.
Тема 8. Теория аналитических продолжений
Аналитический элемент и его продолжение. Аналитическое продолжение вдоль пути. Полная аналитическая функция в смысл Вейерштрасса, понятие о ее римановой поверхности. Изолированные особые точки многозначного характера. Аналитическое продолжение через границу области. Принцип симметрии. Формула Кристоффеля-Шварца.
Тема 9. Целые и мероморфные функции
Порядок и тип целой функции. Теорема Вейерштрасса. Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера.
ЛИТЕРАТУРА
по курсу " Теория функций комплексного переменного "
Основная
-
Ю.В. Сидоров, М.Ф. Федорюк, М.И Шабунин. Лекции по ТФКП. М.,Наука, 1989.
-
Шабат Б. В. Введение в теорию функций комплексный анализ. Ч.I. М.: Наука, 1976.
-
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
-
Л.И.Волковысский, Г.Л.Лунц, И.Г.Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М. Наука, 1970.
Шабат Б. В. Введение в теорию функций комплексный анализ. Ч.I. М.: Наука, 1976.
-
Дополнительная
-
А.И.Маркушевич. Теории аналитических функций. Т.1,2.М.,Наука,1968.
-
М. А. Евграфов Аналитические функции. М., Наука,1968 и др. издания.
-
А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М., Наука,1974 и др. издания.
-
Сборник задач по теории аналитических функций / Под ред. Евграфова М. А.,
М., 1972.
-
А.Гурвиц, Р.Курант. Теория функций. М., Наука,1968.
А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М., 1974.
Утверждена на заседании кафедры теории функций « 16_» __10___ 2001г.
Заведующий кафедрой теории функций
профессор А.А. Килбас
Разработчики:
Кафедра теории функций
Белорусского государственного университета
Зав. кафедрой, профессор А.А. Килбас
Согласована:
Управление учебной и научно-методической работы
Белорусского государственного университета
Начальник В.В.Самохвал
страница 1
|