Изучение дискретных и непрерывных случайных величин, законов их распределения и числовых характеристик.

Изучение систем случайных величин, законов их распределения и числовых характеристик; функций от случайных величин и их характеристик.

Изучение основных видов распределения: равномерное, биноминальное, нормальное распределение, распределение Пуассона.

Изучение предельных теорем теории вероятностей.

Изучение методов восстановления по ограниченным данным (выборочной совокупности), с определенной степенью достоверности, характеристик присущих генеральной совокупности (получение оценок неизвестных параметров, проверка статистических гипотез).

Содержание теоретического курса

Введение. Основные понятия теории вероятностей.

Предмет теории вероятностей. Развитие теории вероятностей (исторический обзор). Применение теории вероятностей в естествознании. Перспективы применения теории вероятностей в различных областях науки и техники.

Элементы комбинаторики. Перестановка, размещения, сочетания. Перестановка, размещения, сочетания с повторениями.

Пространство элементарных событий, как математическая модель случайного эксперимента. Дискретное пространство элементарных событий. События. Операции над событиями (алгебра событий). Определение вероятности события. Свойства операций и свойства вероятностей. Относительная частота (статистическая вероятность), устойчивость частот. Классическое определение вероятности. Геометрическая схема теории вероятностей.

Тема 2. Простейшие теоремы теории вероятностей.

Классификация событий. Несовместные события. Теорема сложения вероятностей. Независимые события. Зависимые события и условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса). Испытания Бернулли. Частная теорема о повторении опытов (биноминальные распределения). Общая теорема о повторении опытов. Полиномиальное распределение. Асимптотические формулы: формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа. Простейший (Пуассоновский) поток событий

Виды случайных величин. Дискретная случайная величина; ряд распределения, многоугольник распределения д.с.в. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Непрерывная случайная величина; функция распределения непрерывный случайной величины и её свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Плотность распределения н.с.в. Роль и назначения числовых характеристик случайных величин. Характеристики положения (математическое ожидание, мера). Свойства математического ожидания. Начальные и центральные моменты. Дисперсия и её свойства. Средне квадратичное отклонения.

Понятие о системе случайных величин. Функция распределения и плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения величин, входящих в систему. Условные законы распределения. Зависимые и не зависимые случайные величины. Плотность распределения суммы, произведения и частного двух независимых случайных величин. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин. Функции случайных величин (сумма, произведение) и их числовые характеристики.

Равномерное распределение, биноминальное распределение, распределение Пуассона, показательное распределение и их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, средне - квадратичное отклонение).

Нормальный закон распределения случайной величины и его параметры. Нормальная кривая.

Тема 6. Предельные теоремы теории вероятностей.

Закон больших чисел и центральная предельная теорема. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел (теорема Чебышева). Теорема Ляпунова. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона; теорема Муавра – Лапласа.

Точечные оценки. Несмещённые, эффективные и состоятельные оценки. Генеральная средняя и выборочная средняя. Оценки генеральной средней. Генеральная дисперсия и выборочная дисперсия. Оценки генеральной дисперсии. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания и дисперсии. Метод произведений для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.

Основные сведения о статистических гипотезах. Сравнение двух генеральных средних.

1. 
   Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, изд. 1999, 2000.
   
2. 
   Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика М. Юнисти, 2003.
   
3. 
   Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Статистика, 1979.
   

4. 
   Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, изд. 2003, 2001.
   
5. 
   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.2. М.: ВШ, 1986
   

Дополнительная литература:

4. 
   Гнеденко В.Е. «Курс теории вероятности». М.Наука, 1988, 2001
   
5. 
   Гурский Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1975.