страница 1
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
|
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
УО «ГГУ им. Ф. Скорины», профессор
________________ И.В. Семченко
«____»____________ 2010 г.,
Регистрационный № УД-_________/р.
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебная программа для специальностей:
1-31 04 01 02 «Физика (производственная деятельность)»
1-31 04 01 03 «Физика (научно-педагогическая деятельность)»
1-31 04 01 04 «Физика (управленческая деятельность)»
Факультет физический
(название факультета)
Кафедра высшей математики
(название кафедры)
Курс (курсы) 1-2
Семестр (семестры) 2-3
Лекции 50 час.
(количество часов)
|
Экзамен 3
(семестр)
|
Практические (семинарские
занятия 56 час.
(количество часов)
|
Зачет 2
(семестр)
|
Самостоятельная управляемая
работа студентов 6 час.
(количество часов)
|
Форма получения
высшего образования
дневная
|
Всего аудиторных часов
по дисциплине 112 час.
(количество часов)
|
|
Всего часов
по дисциплине 206 час.
(количество часов)
|
|
Составил Д.А. Ходанович, к.ф.-м. наук, ассистент
2010 г.
Учебная программа дисциплины составлена на основе типовой учебной программы «Дифференциальные и интегральные уравнения», утвержденной 12 декабря 2006 года, регистрационный № ТД – G.122/тип.
Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры высшей математики
___ __________ 2010 г., протокол № ___
Заведующий кафедрой
_________________ В.Н.Семенчук
Одобрена и рекомендована к утверждению методическим советом математического факультета
___ __________ 2010 г., протокол № ___
Председатель
_______________В.М.Селькин
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Дисциплина «Дифференциальные и интегральные уравнения» вырабатывает у студентов навыки построения математических моделей простейших физических явлений и решения (аналитического и численного) получающихся при этом математических задач. Она составляет математическую основу дисциплин общей и теоретической физики и специальных дисциплин, читаемых на кафедрах.
Студент должен знать:
- основные типы дифференциальных уравнений и систем;
- основные методы интегрирования;
- теоремы существования и единственности решения;
- основные понятия и определения теории устойчивости решений и вариационного исчисления;
- основные виды линейных интегральных уравнений
и уметь:
- определять типы дифференциальных уравнений
- применять методы интегрирования к решению этих уравнений.
Общее количество – 206; аудиторное количество часов – 112 часов, из них: лекции – 50 часов, практические занятия – 56 часов, самостоятельная управляемая работа студентов (СУРС) – 6 часов. Форма отчетности – зачет и экзамен.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Раздел 1 Введение
Тема 1.1 Основные задачи теории дифференциальных уравнений
Прикладные задачи как источник основных представлений теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Принцип построения математических моделей. Основные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их исследований.
Раздел 2 Уравнения первого порядка
Тема 2.1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Уравнения, разрешенные относительно производной. Поле направлений. Изоклины. Интегральные кривые.
Тема 2.2 Задача Коши для дифференциальных уравнений
Теорема существования решения задачи Коши. Зависимость решений от начальных данных и от параметров.
Тема 2.3 Однородные и линейные уравнения первого порядка
Понятие однородного многочлена и однородной функции двух аргументов. Примеры однородных функций нулевого порядка. Однородные уравнения и уравнения приводящиеся к ним. Линейное уравнение. Уравнение Бернулли.
Тема 2.4 Уравнения в полных дифференциалах
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи существования интегрирующего множителя. Теорема о существовании и единственности решения уравнения вида: y’= f(x,y). Понятие особого решения. Простейшие методы нахождения особого решения.
Тема 2.5 Простейшие типы уравнений, не разрешённых относительно старшей производной
Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Уравнения, не содержащее неизвестной функции и её производных до k-го порядка. Уравнения, не содержащие аргумента неизвестной функции.
Раздел 3 Уравнения высших порядков и систем уравнений
Тема 3.1 Уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения высших порядков. Начальные условия. Теорема существования и единственности решения. Методы понижения порядка уравнений.
Тема 3.2 Нормальные системы дифференциальных уравнений
Метод подстановки решения простейших систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведение системы уравнений, разрешённых относительно старшей производной к нормальному виду. Понятие общего решения нормальной системы. Понятие частного решения нормальной системы. Задача Коши для нормальных систем n-го порядка.
Тема 3.3 Решение нормальной системы
Теорема о существовании и единственности решения нормальной системы. Геометрическая интерпретация решений системы. Интегральные линии. Простейшие типы интегрируемых нормальных систем: состоящие из «отдельных» уравнений. Простейшие типы интегрируемых нормальных систем: системы треугольного вида.
Тема 3.4 Понятие интеграла системы
Два определения интеграла системы. Примеры. Понятие независимости системы интегралов. Первые интегралы. Понижение порядка системы заданием нескольких первых интегралов. Связь задачи о решении нормальной линейной системы с задачей о решении некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Общий интеграл нормальной системы. Решение систем с помощью составления интегрируемых комбинаций. Простейшие способы составления интегрируемых комбинаций.
Раздел 4 Простейшие уравнения с частными производными
Тема 4.1 Однородные линейные уравнения в частных производных первого порядка
Симметричная форма записи нормальной системы. Связь между линейным уравнением с частными производными первого порядка и соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме. Метод характеристик решения однородных уравнений в частных производных первого порядка. Задача Коши для уравнения в частных производных. Формулировка начальных условий. Почти линейные уравнения. Геометрическая интерпретация решений.
Тема 4.2 Квазилинейные уравнения в частных производных
Сведение решения квазилинейного уравнения к решению однородного линейного уравнения в частных производных. Общее решение уравнения в частных производных. Решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения с частными производными. Формулировка начальных условий для уравнений в частных производных. Отыскание частного решения задачи Коши по данным начальным условиям.
Тема 4.3 Понятие об асимптотических методах для дифференциальных уравнений
Асимптотическое разложение по малому параметру в случае регулярной зависимости от параметра. Построение асимптотики фундаментальной системы решений для сингулярного возмущенного уравнения второго порядка.
Раздел 5 Линейные уравнения и системы
Тема 5.1 Однородные линейные дифференциальные уравнения
Линейные дифференциальные уравнения. Область существования решения. Общие свойства решений. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.
Тема 5.2 Общее решение линейного однородного уравнения
Фундаментальная система решений. Общее решение. Формула Остроградского-Лиувилля.
Тема 5.3 Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Неоднородные линейные уравнения. Методы Лагранжа и Коши нахождения частного решения неоднородного уравнения.
Тема 5.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Нахождение фундаментальной системы решений однородного уравнения. Неоднородные дифференциальные уравнения. Общее решение.
Тема 5.5 Методы интегрирования неоднородных линейных уравнений
Уравнения с правой частью в виде квазиполинома. Зависимость решений от начальных данных. Линейное уравнение Эйлера. Нахождение решений линейных уравнений в виде степенных и обобщенных степенных рядов.
Тема 5.6 Краевые задачи для линейных уравнений
Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка. Функция Грина.
Тема 5.7 Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
Линейные системы. Свойства решений линейных однородных систем. Нахождение фундаментальной системы в случае постоянных коэффициентов.
Тема 5.8 Решение линейных неоднородных систем
Методы Лагранжа и неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородных систем.
Тема 5.9 Автономные системы
Общие понятия. Двумерные автономные системы. Свойства решений. Траектории.
Раздел 6 Устойчивость решений
Тема 6.1 Устойчивость решения
Устойчивость решения по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Фазовая плоскость.
Тема 6.2 Классификация точек покоя
Понятие точки покоя. Исследование устойчивости решения по первому приближению. Классификация точек покоя системы двух линейных уравнений первого порядка.
Раздел 7 Интегральные уравнения
Тема 7.1 Классификация интегральных уравнений
Уравнения Вольтерра и уравнения Фредгольма первого и второго рода. Метод дифференцирования. Формулы дифференцирования интегралов зависящих от параметра. Однородные и неоднородные уравнения. Множество решений линейного интегрального уравнения второго рода. Теорема о существовании и единственности решения уравнения Вольтера второго рода. Некоторые достаточные признаки применимости метода итераций к уравнениям Фредгольма второго рода с параметром. Уравнения Фредгольма 2-го рода с малым параметром. Скорость сходимости итерационного процесса. Оценка скорости сходимости итерационного процесса. Последовательность итерированных ядер. Формулы для вычисления последовательных приближений. Решение как предел последовательности приближений. Ряд Неймана и резольвента. Построение решения с помощью резольвенты. Оценка скорости сходимости итерационного процесса.
Тема 7.2 Свойства интегральных уравнений
Сведение решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром к решению системы линейных алгебраических уравнений. Различные возможности для разрешимости уравнения Фредгольма. Сведение решения уравнения Вольтера с вырожденным ядром к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Линейная независимость множеств сомножителей слагаемых ядра. Единственность решения уравнения Вольтера. Собственные числа и собственные функции ядра уравнения Фредгольма второго рода. Кратные собственные значения. Понятие кратности собственного числа. Пространство решений однородного уравнения. Теорема Гильберта-Шмидта. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Транспонированное (сопряжённое) уравнение. Альтернатива Фредгольма для уравнений Фредгольма второго рода. Эквивалентные формулировки теорем Фредгольма. Признак ортогональности.
Раздел 8 Вариационное исчисление
Тема 8.1 Основные понятия вариационного исчисления
Задача о брахистохроне. Понятие функционала. Простейшие функциональные пространства: C[a,b] и Cn[a,b]. Норма вектора. Окрестности точек и пределы. Понятия сильного и слабого экстремума функционала. Понятие близости кривых в различных функциональных пространствах. Два определения вариации функционала. Основная лемма вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума. Уравнение Эйлера для простейшего интегрального функционала. Понятие экстремали простейшей вариационной задачи с закреплёнными границами. Центральное и собственное поле экстремалей. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера-Пуассона. Необходимые условия экстремума для функционала от нескольких аргументов. Системы уравнений Эйлера.
Тема 8.2 Достаточные условия экстремума
Постановка задачи с подвижными границами. Условия трансверсальности. Необходимые условия экстремума для простейшего интегрального функционала задачи с подвижными границами. Вычисление расстояния от точки до кривой. Расстояние между двумя фигурами. Понятие поля экстремалей. Собственное и центральное поле экстремалей. Наклон поля экстремалей. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия Вейерштрасса. Достаточные условия Лежандра сильного и слабого экстремумов. Задача о геодезических линиях. Расстояние между точками на поверхности. Геодезические линии на сфере. Случаи голономных и неголономных связей. Изопериметрическая задача. Метод неопределённых множителей Лагранжа.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА
Номер раздела, темы, занятия
|
Название раздела, темы, занятия;
перечень изучаемых вопросов
|
Количество аудиторных часов
|
Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)
|
Литература
|
Формы контроля знаний
|
Всего часов
|
Лекции
|
практичес-кие занятия
|
лабораторные занятия
|
СУРС
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
1
|
Раздел 1 Введение
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
–
|
|
|
1.1
|
Основные задачи теории дифференциальных уравнений
1. Примеры физических задач приводящих к решению дифференциальных уравнений
2. Принцип построения математических моделей
3. Основные задачи теории дифференциальных уравнений
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
2
|
Раздел 2 Уравнения первого порядка
|
26
|
10
|
16
|
–
|
–
|
|
|
|
2.1
|
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
1. Уравнения, разрешенные относительно производной
2. Поле направлений
3. Интегральные кривые
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
2.2
|
Задача Коши для дифференциальных уравнений
1. Теорема существования решения задачи Коши
2. Зависимость решений от начальных условий
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
2.3
|
Однородные и линейные уравнения первого порядка
1. Понятие однородной функции
2. Однородные уравнения и приводящиеся к ним
3. Линейные уравнения первого порядка
|
8
|
2
|
6
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
2.4
|
Уравнения в полных дифференциалах
1. Уравнение в полных дифференциалах
2. Интегрирующий множитель
3. Особое решение
|
6
|
2
|
4
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
Проверочная контрольная работа
|
2.5
|
Простейшие типы уравнений, не разрешенные относительно старшей производной
1. Понятие уравнения, не разрешенного относительно старшей производной
2. Уравнение Лагранжа
3. Уравнение Клеро
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
3
|
Раздел 3 Уравнения высших порядков и систем уравнений
|
14
|
8
|
6
|
|
|
|
|
|
3.1
|
Уравнения высших порядков
1. Дифференциальные уравнения высших порядков
2. Теорема существования и единственности решения
3. Методы понижения порядка уравнений
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
3.2
|
Нормальные системы дифференциальных уравнений
1. Нормальные системы дифференциальных уравнений
2. Приведение системы к нормальному виду
3. Задача Коши для нормальных систем
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
3.3
|
Решение нормальной системы
1. Теорема о существовании и единственности решения нормальной системы
2. Интегральные линии
3. Простейшие типы интегрируемых нормальных систем
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
3.4
|
Понятие интеграла системы
1. Определения интеграла системы
2. Общий интеграл нормальной системы
3. Решение систем с помощью составления интегрируемых комбинаций
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
4
|
Раздел 4 Простейшие уравнения с частными производными
|
10
|
6
|
4
|
–
|
–
|
|
|
|
4.1
|
Однородные линейные уравнения в частных производных первого порядка
1. Линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка
2. Связь между уравнением и соответствующей системой в симметрической форме
3. Задача Коши и геометрическая интерпретация решений
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
4.2
|
Квазилинейные уравнения в частных производных
1. Сведение решения квазилинейного уравнения к решению однородного уравнения
2. Общее решение уравнения в частных производных
3. Задача Коши для неоднородного уравнения в частных производных
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
Проверочная контрольная работа
|
4.3
|
Понятие об асимптотических методах для дифференциальных уравнений
1. Асимптотическое разложение по малому параметру
2. Построение асимптотики фундаментальной системы решений
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
Коллоквиум
|
|
Всего за 2-й семестр:
|
52
|
26
|
26
|
–
|
–
|
|
|
|
5
|
Раздел 5 Линейные уравнения и системы
|
38
|
16
|
20
|
–
|
2
|
–
|
|
|
5.1
|
Однородные линейные дифференциальные уравнения
1. Линейные дифференциальные уравнения
2. Свойства решений
3. Линейная зависимость функций
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
5.2
|
Общее решение линейного однородного уравнения
1. Фундаментальная система решений
2. Общее решение
3. Формула Остраградского-Лиувилля
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
5.3
|
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
1. Понятие неоднородного линейного уравнения
2. Структура решения
3. Методы Лагранжа и Коши нахождения частного решения неоднородного уравнения
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
5.4
|
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
1. Фундаментальная система решений однородного уравнения с постоянными коэффициентами
2. Неоднородные уравнения
3. Общее решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
5.5
|
Методы интегрирования неоднородных линейных уравнений
1. Интегрирование уравнений с правой частью в виде квазиполинома
2. Линейное уравнение Эйлера
3.Нахождение решений в виде рядов
|
6
|
2
|
4
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
Проверочная контрольная работа
|
5.6
|
Краевые задачи для линейных уравнений
1. Краевые задачи для уравнений второго порядка
2. Функция Грина
|
4
|
–
|
2
|
–
|
2
|
–
|
[1-13]
|
Групповая консультация
|
5.7
|
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
1. Свойства решений систем
2. Фундаментальная система решений
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
5.8
|
Решение линейных неоднородных систем
1. Метод Лагранжа
2. Метод неопределенных коэффициентов
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
Проверочная контрольная работа
|
5.9
|
Автономные системы
1. Понятие автономной системы
2. Двумерные автономные системы
3. Свойства решеий
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
Коллоквиум
|
6
|
Устойчивость решений
|
6
|
–
|
2
|
–
|
4
|
|
|
|
6.1
|
Устойчивость решений
1. Устойчивость решения по Ляпунову
2. Асимптотическая устойчивость
3. Фазовая плоскость
|
2
|
–
|
–
|
–
|
2
|
–
|
[1-13]
|
Групповая консультация
|
6.2
|
Классификация точек покоя
1. Понятие точки покоя
2. Исследование устойчивости по первому приближению
3. Классификация точек покоя
|
4
|
–
|
2
|
–
|
2
|
–
|
[1-13]
|
Групповая консультация
|
7
|
Раздел 7 Интегральные уравнения
|
8
|
4
|
4
|
|
|
|
|
|
7.1
|
Классификация интегральных уравнений
1. Уравнения Вольтерра и уравнения Фредгольма первого и второго рода
2. Метод дифференцирования
3. Теорема о существовании и единственности решения уравнения Вольтера второго рода
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
7.2
|
Свойства интегральных уравнений
1. Сведение решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром к решению системы линейных алгебраических уравнений
2. Собственные числа и собственные функции ядра уравнения Фредгольма второго рода
3. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
8
|
Раздел 8 Вариационное исчисление
|
8
|
4
|
4
|
|
|
|
|
|
8.1
|
Основные понятия вариационного исчисления
1. Понятие функционала.
2. Уравнение Эйлера и необходимое условие экстремума простейшего функционала
3. Задачи вариационного исчисления
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
8.2
|
Достаточные условия экстремума
-
Постановка задачи с подвижными границам
-
Функция Вейерштрасса
-
Задача о геодезических линиях
-
Случаи голономных и неголономных связей.
|
4
|
2
|
2
|
–
|
–
|
–
|
[1-13]
|
|
|
Всего за 3-й семестр:
|
60
|
24
|
30
|
–
|
6
|
|
|
|
|
Всего часов:
|
112
|
50
|
56
|
–
|
6
|
–
|
|
|
информационно – методическАЯ часть
Перечень практических занятий
-
Уравнения первого порядка
-
Уравнения высших порядков и систем уравнений.
-
Простейшие уравнения с частными производными
-
Линейные уравнения и системы.
-
Устойчивость решений.
-
Понятие об асимптотических методах для дифференциальных уравнений, содержащих параметры.
-
Интегральные уравнения.
-
Вариационные исчисления
Формы контроля знаний
Контрольные работы:
-
Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Уравнения в полных дифференциалах.
-
Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Уравнения высших порядков. Линейные уравнения в частных производных первого порядка. Задача Коши.
-
Линейные неоднородные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Решение линейных неоднородных уравнений 2-го порядка.
-
Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами (метод Эйлера, метод Лагранжа).
Коллоквиумы:
Уравнения первого порядка. Уравнения высших порядков. Линейные уравнения в частных производных первого порядка. Задача Коши. Линейные неоднородные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Линейные уравнения 2-го порядка. Линейные системы n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости нулевого решения (Первый и второй методы Ляпунова). ЛИТЕРАТУРА
Основная
-
Богданов, Ю.С. Курс дифференциальных уравнений / Ю.С. Богданов, С.А. Мазаник , Ю.Б. Сыроид. — Мн.: Университетское, 1996. — 287 с.
-
Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. — М.: Наука, 1979.— 320 с.
-
Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. — М: Наука, 1985.— 231 с.
-
Минюк, С.А. Математика для инженеров: в 2т. / С.А. Минюк, Н.С. Березкина, А.В. Метельский. — Мн.: Элайда, 2004 – Т.2. — 592 с.
-
Васильева, А.Б. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах / А.Б. Васильева, Г.Н. Медведев, Н.А. Тихонов, Т.А. Уразгильдина. — М.: Физматлит, 2005. — 432 с.
-
Филиппов, А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А.Ф. Филиппов. — Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005.— 176 с.
-
Матвеев, Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Н.М. Матвеев. — СПб: Лань, 2002.— 432 с.
-
Шилин, А.П. Дифференциальные уравнения. Задачи и примеры / А.П. Шилин. — Мн.: РИВШ, 2008. — 368 с.
Дополнительная
-
Романко, В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 344 с.
-
Краснов, М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов, А.И. Кисилев, Г.И. Макаренко. — М.: Наука, 1976. — 216 с.
-
Самойленко, A.M. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи / A.M. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк.— М.:Высш. шк., 1989. — 383 с.
-
Пантелеев, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов. — М.:Высш. шк., 2001. — 376 с.
-
Прокопеня, А.Н. Применение системы к решению обыкновенных дифференциальных уравнений / А.Н. Прокопеня, А.В. Чичурин. — Мн.:БГУ, 1999. — 265 с.
ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ДИСЦИПЛИНЫ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ» С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
1-31 04 01 02 «ФИЗИКА (ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ)»,
1-31 04 01 03 «ФИЗИКА (НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ)»,
1-31 04 01 04 «ФИЗИКА (УПРАВЛЕНЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ)»
Название дисциплины, с которой
требуется
согласование
|
Название
кафедры
|
Предложения
об изменениях в содержании учебной программы по изучаемой учебной
дисциплине
|
Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)
|
Математический анализ
|
Высшей математики
|
Изменений нет
|
|
Заведующий кафедрой
высшей математики _________________ В.Н.Семенчук
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
на 20 ____/20_____учебный год
№№
пп
|
Дополнения и изменения
|
Основание
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры оптики
(протокол № ____ от ________ 20__ г.)
Заведующий кафедрой
д.ф.–м. наук, профессор В.Н.Семенчук
УТВЕРЖДАЮ
Декан математического факультета
к.ф.–м. наук, доцент С.П.Жогаль
страница 1
|