Данный комплекс представлен тремя частями: «Функции действительной переменной. Ряды», «Функции многих переменных», «Функции комплексной переменной». В первую часть входят разделы теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление функции действительной переменной, числовые и функциональные ряды, которые излагаются в 1-м семестре. Во второй части представлены разделы 2-го семестра: непрерывность и дифференцируемость функции многих переменных, криволинейные, кратные и поверхностные интегралы; векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра. Третья часть содержит материал 3-го семестра: ряды и интеграл Фурье, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость функции комплексной переменной, вычеты и их приложения, операционное исчисление.

Структура каждой части содержит требования образовательного стандарта, учебную программу, тематический план. По изучаемым разделам математического анализа приводится краткий лекционный курс, материал которого разбит на части, соответствующие темам. Каждая тема содержит перечень вопросов, подлежащих изучению, основные определения, утверждения и теоремы (доказательства теорем излагаются в литературе, приведенной в пособии). В конце каждого раздела краткого лекционного курса предлагаются вопросы для самоконтроля, которые могут быть использованы студентами при самоподготовке по дисциплине, а также преподавателями при проведении устных опросов и математических диктантов. В пособии по каждому разделу приводятся примерные задания к практическим занятиям с решениями типовых примеров. Для осуществления контроля знаний предлагаются примерные задания контрольных работ по каждому разделу, тестовые задания итогового контроля, примерный перечень вопросов к экзамену и типовые задачи к нему. Нумерация таблиц и рисунков дана самостоятельно в каждом разделе; нумерация заданий к практическим занятиям своя в каждой теме.

При написании комплекса авторы использовали литературу, список которой приводится в конце каждой части комплекса.

Учебно-методический комплекс по курсу «Математический анализ» предназначен, с одной стороны, для организации учебного процесса дневного отделения физического факультета по специальности: 1-31 04 03 – Физическая электроника, а также может быть использован в качестве учебно-методического обеспечения для специальностей 1-31 04 01 02 – Физика (производственная деятельность), 1-31 04 01 03 – Физика (научно-педагогическая деятельность), 1-31 04 01 04 – Физика (управленческая деятельность), 1-02 05 04 04 – Физика. Техническое творчество. С другой стороны, изложенные вопросы разделов математического анализа, позволяют студентам использовать методы математического анализа в решении задач из различных областей математики и физики.

Требования

образовательного стандарта

(руководящий документ Республики Беларусь

РД РБ 021005.038–98)

Высшее образование

специальности 1-31 04 03 – Физическая электроника,
Дисциплина «Математический анализ»

Числовые последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей. Предельные точки последовательности. Общий критерий сходимости. Предел функции. Критерий Коши существования предела функции. Непрерывность функции. Точки разрыва. Замечательные пределы. Производная. Основные правила и формулы дифференцирования. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Неопределенный интеграл. Основные методы и формулы интегрирования. Основные теоремы о непрерывных функциях. Основная теорема о неопределенном интеграле. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Функция нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость сложной функции. Производная по направлению. Градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Неявные функции. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости. Функциональные ряды. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Несобственные интегралы и признаки сходимости. Эйлеровы интегралы. Двойной интеграл и его основные свойства. Тройные и n-кратные интегралы. Несобственные кратные интегралы. Криволинейные интегралы. Интегралы на поверхности. Интегралы, зависящие от параметра. Ряд Фурье по ортогональной системе элементов гильбертова пространства. Неравенство Бесселя. Комплексная форма ряда Фурье. Понятие о кратных рядах Фурье. Интеграл Фурье и его комплексная форма. Комплексная переменная. Функция комплексной переменной. Аналитические функции. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Лорана.

Содержание курса “Математический анализ” определяет совокупность необходимых знаний, навыков и умений, которыми должен овладеть студент в соответствии с требованиями образовательного стандарта высшего образования РБ.

По завершении обучения по курсу «Математический анализ» студент обязан:

– иметь представление: о месте и роли математики в системе естественнонаучного знания; о содержании основных разделов высшей математики, об отличии прикладной математики от фундаментальной;

– знать: основные понятия и теоретические положения;

– уметь: применять изучаемые теоретические сведения для решения задач;

– иметь навыки: решения типовых задач.

Данный курс отличается глубокими внутренними связями и поэтому имеет высокую степень автономности. При этом он тесно связан с дисциплинами «Аналитическая геометрия», «Алгебра», «Дифференциальный уравнения». Теоретические основы и практические навыки широко используются во многих других математических теориях и учебных дисциплинах.

Язык теории множеств. Логические символы. Операции над множествами. Эквивалентность множеств. Множество натуральных чисел. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел. Множество действительных чисел. Принцип Архимеда.

Ограниченные и неограниченные множества. Наибольший и наименьший элементы. Верхняя и нижняя грани. Точная верхняя и точная нижняя грани. Существование точной верхней (нижней) грани. Метод математической индукции. Принцип вложенных отрезков. Бином Ньютона.

Понятие комплексного числа. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах комплексного числа.

Определение числовой последовательности. Арифметические действия над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонные последовательности. Бесконечно малые последовательности их свойства. Бесконечно большие последовательности.

Определение предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах. Критерий Коши сходимости последовательности. Определение монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число . Подпоследовательности. Принцип выбора. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

Понятие функции. Способы задания функции. Основные свойства функций. Сложная функция. Обратная функция. Основные числовые функции. Классификация функций. Основные функции, заданные параметрическими уравнениям. Полярная система координат. Основные линии, заданные в полярной системе координат. Определение предела функции по Гейне и по Коши. Эквивалентность этих определений. Свойства предела функции. Односторонние пределы функции. Конечный предел функции при , и . Бесконечные пределы функции при . Бесконечный предел функций при . Критерий Коши существования предела

Определение бесконечно малой функции. Свойства бесконечно малых функций. Сравнение асимптотического поведения функций. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

Определение непрерывности функции. Арифметические действия над непрерывными функциями. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность монотонной функции. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции.Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение. Теоремы Больцано-Коши. Ограниченность непрерывных функций. Первая теорема Вейерштрасса. Достижение непрерывной функцией своих точных граней. Вторая теорема Вейерштрасса. Определение равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора.

Определение производной. Правая и левая производная. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Геометрический смысл производной дифференциала. Уравнение касательной и нормали. Физический смысл производной и дифференциала. Свойства производных, связанные с арифметическими операциями.

Производная обратной функции. Производная и дифференциал сложной функции. Логарифмическая производная. Инвариантность формы первого дифференциала. Таблица производных.

Производная функции, заданной параметрическими уравнениями. Производная неявной функции. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Дифференциалы высших порядков.

Теорема Ферма. Теорема Роля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида и . Другие виды неопределенностей и их раскрытие.

Определение многочлена Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в виде Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в виде Пеано. Примеры разложения функций по формуле Тейлора. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена элементарных функций. Использование формулы Тейлора для выделения главной части функции для вычисления пределов. Использование формулы Тейлора для вычисления приближенных значений функции.

Признаки монотонности функции. Точки локального экстремума функции. Необходимое условие существования локального экстремума функции. Точка возврата. Угловая точка. Стационарные точки. Достаточное условие существования локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции. Исследование функции, заданных: а) параметрическими уравнениями; б) неявно; в) в полярных координатах.

Определение векторной функции. Годограф. Радиус-вектор. Предел и непрерывность векторной функции. Производная и дифференциал векторной функции. Свойства дифференцируемых функций. Геометрический и механический смысл производной. Понятие кривой. Носитель кривой. Способы задания кривой. Ориентированная кривая. Точа самопересечения. Замкнутая кривая. Простой замкнутый контур. Касательная к кривой. Определение длины кривой. Гладкие и кусочно-гладкие кривые. Натуральное уравнение гладкой кривой. Уравнение нормальной плоскости. Единичный вектор касательной.

Определение кривизны кривой. Вычисление кривизны кривой. Главная нормаль. Радиус, круг и координаты центра кривизны плоской кривой. Эволюта Ии эвольвента плоской кривой. Соприкасающаяся плоскость. Трехгранник Френе.

Определение первообразной функции и ее свойства. Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. Дифференцирование неопределенного интеграла. Линейность неопределенного интеграла. Инвариантность формул интегрирования. Таблица неопределенных интегралов.

Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной. Подведение множителя под знак дифференциала. Метод интегрирования по частям. Некоторые особенности использования метода интегрирования по частям.

Рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Метод неопределенных коэффициентов. Метод частных значений. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Интегралы вида (,,,… ). Интегралы вида (, ,, , …). Интегралы вида , , . Интеграл от дифференциального бинома (,,, , ). Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Интегралы вида . Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегралы вида (, , ). Интегралы вида , (). Интегралы вида , , (). Интегралы вида . Интегралы от гиперболических функций.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости функций. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхние и нижние интегралы. Критерий интегрируемости Дарбу. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интеграла. Теорема о среднем. Дифференцируемость интеграла по переменному верхнему пределу. Существование первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Формула замены переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Вычисление площадей криволинейных трапеций. Вычисление длины кривой. Вычисление площади поверхности. Вычисление объемов пространственных тел. Вычисление площади и объема поверхности вращения.

Вычисление работы переменной силы; работы электродвигателя переменной мощности; вычисление силы давления; вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра масс плоской кривой; вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра масс плоской фигуры.

Несобственные интеграл с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интеграл от неограниченной функции. Формулы для несобственных интегралов. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля. Метод средних прямоугольников. Метод трапеций. Метод Симпсона.

Определение числового ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Линейные операции над сходящимися рядами. Критерий Коши сходимости числового ряда. Ряда с неотрицательными членами. Гармонический ряд. Ряд Дирихле. Интегральный признак Коши. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши.

Определение знакочередующегося ряда. Признак Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Определение знакопеременного числового ряда. Условно сходящиеся ряды. Признаки сходимости Дирихле и Абеля знакопеременных рядов.

Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Функциональные ряды. Поточечная сходимость функциональных рядов. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.

Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус сходимости и интервал сходимости. Область сходимости. Свойства степенных рядов: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.

Определения ряда Тейлора. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Использование ряда Тейлора для вычисления пределов, для вычисления приближенных значений функции, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.2 Операции над множествами

1.3 Числовые множества

1.4 Понятие функции

Способы задания множеств:

– перечислением его элементов – если множество состоит из элементов , , , , то пишут ;

– указанием характеристики свойств элементов – если множество задается указанием характерного свойства его элементов, то пишут .

– диаграммы Эйлера-Венна – множество изображается в виде кругов, треугольников или геометрических фигур произвольной формы, внутри которых располагаются элементы множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Множества и называются равными, если каждый элемент множества является элементом множества и, наоборот, каждый элемент множества является элементом множества . Равенство множеств и обозначают . Равные множества состоят из одних и тех же элементов. Если множество не равно множеству , то пишут .

Множество , , называется подмножеством множества , , если каждый элемент множества является элементом множества . Если – подмножество множества , то пишут .

Понятие подмножества определяет между двумя множествами отношение включения. Если и ,то называется собственным подмножеством множества и обозначается .

Будем рассматривать всевозможные подмножества одного и того же множества, которое называется основным или универсальным. Обозначается универсальное множество буквой .

Разность называется дополнением множества до универсального множества и обозначается :

Пара элементов , , , называется упорядоченной, если указан порядок записи элементов и . Элементы и упорядоченной пары называются координатами, при этом – первая координата, – вторая. При этом тогда и только тогда, когда и .

Основные числовые множества:

– множество натуральных чисел, т.е. чисел, которые используются при счете:

– объединение натуральных чисел, чисел, им противоположных и нуля составляет множество целых чисел:

– множество чисел вида , где ; , называется множеством рациональных чисел:

– числа, которые представимы в виде бесконечной непериодической десятичной дроби называются иррациональными;

– объединение рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел .

Очевидно, .

Множество действительных чисел , пополненное символами и , обозначается и называется расширенным множеством действительных чисел, бесконечности и называются бесконечно удаленными точками числовой прямой, остальные точки – конечными точками числовой прямой.

Основными промежутками во множестве являются:

– интервал с концами и : ;

– отрезок с концами и : ;

– полуинтервалы:

, ;

– бесконечные интервалы и полуинтервалы:

Если , то называется декартовым квадратом и обозначается , т.е. .

Пусть , – произвольные множества. Соответствие, при котором каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , называется функцией (отображением), заданной на множестве со значениями во множестве , при этом элемент называется независимой переменной (аргументом), элемент – зависимой переменной и обозначается:

, , при и ; .

Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество тех , каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному , называется множеством значений функции и обозначается . Очевидно, что .

Определение функции с помощью логических символов записывается в виде:

.

Элемент , в который отображен , называется образом элемента при отображении и обозначается . Элемент называется прообразом элемента . Поэтому отображение удобно записывать в виде , .

Множество образов всех элементов при отображении называется образом множества при этом отображении:

.

Полным прообразом множества при отображении называется множество , состоящее из всех прообразов всех элементов множества :

.

Функция называется обратной к функции , если элементу ставится в соответствие тот элемент , образом которого при отображении является .

Определение обратной функции с помощью логических символов записывается в виде:

.

Если и функции, то функция , ставящая в соответствие каждому элементу элемент , , называется сложной функцией или композицией функций и .

Два множества и называются эквивалентными (равномощными), если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Обозначается: ~.

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. Если множество счетное, то его элементы можно занумеровать. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если – конечное множество, то число его элементов обозначается или и называется мощностью множества .

2.2. Система вложенных отрезков

2.3 Метод математической индукции

2.4 Бином Ньютона

Множество действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует такое действительное число , что каждое число удовлетворяет неравенству , т. е.

При этом число называется верхней гранью множества .

Множество неограничено сверху, если

: .

Элемент называется наибольшим элементом множества , если .

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью и обозначается :

и .

Множество действительных чисел называется ограниченным снизу, если существует такое действительное число , что каждое число удовлетворяет неравенству , т. е.

При этом число называется нижней гранью множества .

Множество неограничено снизу, если

: .

Элемент называется наименьшим элементом множества , если .

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью.

Обозначается:

и .

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным:: .

Система числовых отрезков

называется системой вложенных отрезков, если

1) каждый следующий отрезок содержится в предыдущем

;

2) концы отрезков удовлетворяют неравенству

Длины отрезков , , , называются стремящимися к нулю, если для любого числа существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство .

Метод математической индукции используется при доказательстве утверждений, зависящих от натурального аргумента. Для доказательства необходимо:

1) проверить верность утверждения при (либо для первого натурального числа, для которого доказывается утверждение);

2) в предположении, что утверждение верно для , доказать его справедливость для следующего натурального числа .

При решении задач часто используется бином Ньютона.

Пусть задано конечное множество элементов. Группы элементов, состоящие их одних и тех элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками. Число возможных перестановок из элементов равно