страница 1
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
|
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
УО «ГГУ им. Ф. Скорины» профессор
________________ И.В. Семченко
«____»____________ 2010 г.
Регистрационный № УД- /р.
|
ВВЕДЕНИЕ В ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебная программа спецкурса
для специальности
1-31 03 01 - 02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»
cпециализации 1-31 03 01-02 12 «Математический анализ»
Факультет математический
(название факультета)
Кафедра математического анализа
(название кафедры)
Курс (курсы) 3
Семестр (семестры) 6
Лекции 34 час.
(количество часов)
|
Экзамен _______–_______
(семестр)
|
Практические (семинарские
занятия 34 час.
(количество часов)
|
Зачет _6_______________
(семестр)
|
Лабораторные
занятия – час.
(количество часов)
|
Курсовой проект,
работа _________________
(семестр)
|
Всего аудиторных часов
по дисциплине_68________ час.
(количество часов)
|
Форма получения
высшего образования
дневная
|
Всего часов
по дисциплине_73________ час.
(количество часов
|
|
Составил А. Р. Миротин, д.ф.-м. н., профессор
Гомель 2010
Учебная программа дисциплины составлена на основе учебной программы «Введение в гармонически анализ», утвержденной «___»____________2010 г., регистрационный № ________________
Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры математического анализа
__________________________________
(дата, номер протокола)
Заведующий кафедрой
_____________ А. Р. Миротин_____
(подпись) (И.О. Фамилия)
Одобрена и рекомендована к утверждению методическим советом математического факультета
_______________________________
(дата, номер протокола)
Председатель методического
совета математического факультета
_____________ В. М. Селькин
(подпись) (И.О. Фамилия)
Пояснительная записка
Гармонический анализ, основное содержание которого составляют теории рядов и интегралов Фурье, является одним из важнейших и интереснейших разделов математического анализа. Его важность и актуальность обусловлены многочисленными применениями в математической и теоретической физике, а также других разделах математики и естествознания.
Основным содержанием спецкурса является теория рядов и интегралов Фурье функций одного переменного и их приложения.
Целью спецкурса является овладение студентами основными положениями и методами классического гармонического анализа.
Задачами спецкурса являются:
– усвоение основных понятий классического гармонического анализа;
– ознакомление с теорией рядов и интегралов Фурье и их приложениями к геометрии и математической физике;
– формирование умений и навыков научно-исследовательской работы в области гармонического анализа.
Материал спецкурса основывается на ранее полученных студентами знаниях по таким дисциплинам, как «Математический анализ» и «Функциональный анализ и интегральные уравнения».
В результате изучения спецкурса студент должен
знать:
– историю, основные положения и общие закономерности развития классического гармонического анализа;
уметь:
– использовать свои знания основ классического гармонического анализа при изучении других математических дисциплин;
владеть:
– методологией, основными концепциями теории рядов Фурье и преобразования Фурье;
– приемами применения гармонического анализа к решению конкретных задач.
Спецкурс «Введение в гармонический анализ» изучается студентами 3 курса специальности 1-31 03 01 - 02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)» специализации 1-31 03 01 - 02 12 «Математический анализ»
Общее количество часов - 73, из них лекции – 34 часа, лабораторные занятия – 34 часа. Форма отчетности – зачет.
СОДЕРЖАНИЕ СПЕЦКУРСА
РАЗДЕЛ 1 Ряды Фурье
Тема 1.1 Введение
Происхождение термина «гармонический анализ». Физический маятник. Математический маятник. Простейшие гармоники. Основной метод гармонического анализа. Основоположники гармонического анализа.
Тема 1.2 Различные виды сходимости тригонометрических рядов
Тригонометрический ряд. Примеры тригонометрических рядов. Поточечная сходимость тригонометрического ряда. Равномерная сходимость тригонометрического ряда. Сходимость в среднем квадратичном. Лемма Коши. Суммируемость по Чезаро. Примеры рядов, суммируемых по Чезаро.
Тема 1.3 Ряды Фурье
Тригонометрическая система. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Комплексная форма ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Экстремальное свойство отрезков ряда Фурье. Разложения в ряд Фурье некоторых периодических функций. Поточечная сходимость рядов Фурье. Равномерная сходимость рядов Фурье.
Тема 1.4 Некоторые приложения рядов Фурье
Компас. Приливы и отливы. Волновое уравнение. Изопериметрическая задача. Теорема Гурвица. Теорема Г. Вейля о распределении дробных частей.
Тема 1.5 Теорема Фейера
С-теорема Фейера. L1-теорема Фейера. Следствия этих теорем. Теорема единственности. Аппроксимационные теоремы Вейерштрасса. Равенство Парсеваля. Лемма Римана. Теорема Римана о локализации.
Тема 1.6 Многомерные ряды Фурье
Ряды Фурье функций нескольких переменных. Плотность тригонометрических полиномов. Теорема единственности. Многомерная С-теорема Фейера. Многомерная L1-теорема Фейера. Неравенство Бесселя для функций нескольких переменных. Равенство Парсеваля для функций нескольких переменных. Приложения к хранению и передаче изображений.
РАЗДЕЛ 2 Преобразование Фурье
Тема 2.1 L1-преобразование Фурье и его простейшие свойства
Эвристический вывод формулы Фурье. Основные аппаратные свойства преобразования Фурье. Формула обращения. Преобразование Фурье гауссовской плотности. Приложения к линейным преобразователям сигналов. Приложения к оптике. Теорема Котельникова. Формула Пуассона.
Тема 2.2 Свертка
Пространство Шварца. Преобразование Фурье в пространстве Шварца. Свертка, примеры. Простейшие свойства свертки. Теорема о свертке. Приложения к уравнению диффузии. Теорема Рисса-Торина. Условия существования свертки. Теорема об аппроксимации.
Тема 2.3 L1-формула обращения и теорема Планшереля
Соотношение двойственности. L1-формула обращения. Следствия формулы обращения. Теорема Планшереля и ее следствия. Приложения преобразования Фурье к квантовой механике. Lр- преобразование Фурье. Неравенство Хаусдорфа-Юнга. Неравенство Бернштейна.
Тема 2.4 Преобразование Фурье мер
Регулярные борелевские меры. Разложение Жордана. Свертка мер и ее свойства. Группы унитарных операторов и теорема Стоуна. Положительно определенные функции. Теорема Бохнера. Приложения к теории вероятностей. Многомерное преобразование Фурье.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
-
Основной метод гармонического анализа.
-
Тригонометрический ряд.
-
Сходимость в среднем квадратичном.
4. Комплексная форма ряда Фурье.
5. Разложения в ряд Фурье некоторых периодических функций.
6. Волновое уравнение.
7. С-теорема Фейера.
8 Аппроксимационные теоремы Вейерштрасса.
9. Ряды Фурье функций нескольких переменных.
10. Многомерная L1-теорема Фейера.
11. Основные аппаратные свойства преобразования Фурье.
12. Приложения к линейным преобразователям сигналов.
13. Пространство Шварца.
14. Теорема о свертке.
15. L1-формула обращения.
16. Lр-преобразование Фурье.
17 Свертка мер и ее свойства.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ
1. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа /А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, 3-е изд. – М.: Наука, 1972. – 496 с.
2. Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. – М.: Мир, 1974.– 331 с.
3. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. / А. Зигмунд. – М.: Мир,1965. – 734 с.
4. Титчмарш, Е. Введение в теорию интегралов Фурье. / Е. Титчмарш. – М. : Гостехиздат, 1948. – 642 с.
5. Кахан, Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. / Ж.-П. Кахан. – М. : Мир, 1976.– 204 с.
6. Эдвардс, Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1,2. / Р. Эдвардс. – М. : Мир, 1985.– 659 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. / Г. М. Фихтенгольц. –.М. : ГИТТЛ, 1949. – 783 с.
8. Wolff, T. Lectures on harmonic analysis / T. Wolff – Providence. : AMS, 2003 – 137 p.
9. Korner, T. W. Fourier analysis / T. Korner. – Cambridge. : Cambridge University Press, 1988 – 591 p.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА
Номер раздела, темы, занятия
|
Название раздела, темы, занятия;
перечень изучаемых вопросов
|
Всего часов
|
Количество аудиторных часов
|
Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)
|
Литература
|
Формы контроля знаний
|
Лекции
|
практичес-кие занятия
|
Лабораторные занятия
|
СУРС
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
1
|
Введение
1 Происхождение термина «гармонический анализ».
2 Физический маятник.
3 Математический маятник.
4 Основной метод гармонического анализа.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [4]
|
|
1.2
|
Различные виды сходимости тригонометрических рядов
|
8
|
4
|
4
|
-
|
-
|
|
|
|
1.2.1
|
1 Тригонометрический ряд.
2 Примеры тригонометрических рядов.
3 Поточечная сходимость тригонометрического ряда.
4 Равномерная сходимость тригонометрического ряда.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [4]
|
|
1.2.2
|
1 Сходимость в среднем квадратичном.
2 Лемма Коши.
3 Суммируемость по Чезаро.
4 Примеры рядов, суммируемых по Чезаро.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [4]
|
|
1.3
|
Ряды Фурье.
|
12
|
6
|
6
|
-
|
-
|
|
|
|
1.3.1
|
1 Тригонометрическая система.
2 Ряды Фурье по тригонометрической системе.
3 Комплексная форма ряда Фурье.
4 Неравенство Бесселя.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [3]
|
|
1.3.2
|
1 Экстремальное свойство отрезков ряда Фурье.
2 Разложения в ряд Фурье некоторых периодических функций.
3 Поточечная сходимость рядов Фурье.
4 Равномерная сходимость рядов Фурье.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [5]
|
|
1.4
|
Некоторые приложения рядов Фурье
1 Компас.
2 Приливы и отливы.
3 Волновое уравнение.
4 Изопериметрическая задача.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [5]
|
|
1.5
|
Теорема Фейера
|
8
|
4
|
4
|
-
|
-
|
|
|
|
1.5.1
|
1 С-теорема Фейера.
2 L1-теорема Фейера.
3 Следствия этих теорем.
4 Теорема единственности.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [5]
|
|
1.5.2
|
1 Аппроксимационные теоремы Вейерштрасса.
2 Равенство Парсеваля.
3 Лемма Римана.
4 Теорема Римана о локализации.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [5]
|
|
1.6
|
Многомерные ряды Фурье
|
8
|
4
|
4
|
-
|
-
|
|
|
|
1.6.1
|
1 Ряды Фурье функций нескольких переменных.
2 Плотность тригонометрических полиномов.
3 Теорема единственности.
4 Многомерная С-теорема Фейера.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [5]
|
|
1.6.2
|
1 Многомерная L1-теорема Фейера.
2 Неравенство Бесселя для функций нескольких переменных.
3 Равенство Парсеваля для функций нескольких переменных.
4 Приложения к хранению и передаче изображений.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] – [5]
|
|
2
|
Преобразование Фурье
|
12
|
6
|
6
|
-
|
-
|
|
|
|
2.1
|
L1-преобразование Фурье и его простейшие свойства
|
8
|
4
|
4
|
-
|
-
|
|
|
|
2.1.1
|
1 Эвристический вывод формулы Фурье.
2 Основные аппаратные свойства преобразования Фурье.
3 Формула обращения.
4 Преобразование Фурье гауссовской плотности.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[1] –[4]
|
|
2.1.2
|
1 Приложения к линейным преобразователям сигналов.
2 Приложения к оптике.
3 Теорема Котельникова.
4 Формула Пуассона.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[2] –[5]
|
|
2.2
|
Свертка
|
8
|
4
|
4
|
-
|
-
|
|
|
|
2.2.1
|
1 Пространство Шварца.
2 Преобразование Фурье в пространстве Шварца.
3 Свертка, примеры.
4 Простейшие свойства свертки.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[2] –[5]
|
|
2.2.2
|
1 Теорема о свертке.
2 Приложения к уравнению диффузии.
3 Теорема Рисса-Торина.
4 Условия существования свертки.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[2] –[5]
|
|
2.3
|
L1-формула обращения и теорема Планшереля
|
8
|
4
|
4
|
-
|
-
|
|
|
|
2.3.1
|
1 Соотношение двойственности.
2 L1-формула обращения.
3 Следствия формулы обращения.
4 Теорема Планшереля и ее следствия.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[3] - [6]
|
|
2.3.2
|
1 Приложения преобразования Фурье к квантовой механике.
2 Lр-преобразование Фурье.
3 Неравенство Хаусдорфа-Юнга.
4 Неравенство Бернштейна.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[3] - [5]
|
|
2.4
|
Преобразование Фурье мер.
1 Регулярные борелевские меры.
2 Разложение Жордана.
3 Свертка мер и ее свойства.
4 Группы унитарных операторов и теорема Стоуна.
|
4
|
2
|
2
|
-
|
-
|
|
[2] - [6]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зачет
|
|
Всего часов
|
68
|
34
|
34
|
-
|
-
|
|
|
|
Профессор, д. физ.-мат. наук А. Р. Миротин
страница 1
|