страница 1 страница 2 страница 3
3 Вычислить , где – часть окружности , расположенная в верхней полуплоскости.
Решение. Положим . Так как , то и . Тогда и по условию.
Тогда по теореме 1 получим
.
4 Вычислить , где – отрезок прямой , соединяющей точки и
Решение. Параметрические уравнения контура есть , или , где действительное изменяется от 0 до . Тогда по теореме 1 получим
.
5 Вычислить .
Решение. Функция аналитична всюду на . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
.
Задания для аудиторной работы
Вычислить интегралы:
1 , где – отрезок прямой, соединяющий точки , .
2 , где – отрезок прямой, соединяющий точки , .
3 , где – парабола , соединяющая точки , .
4 , где – дуга окружности , .
5 .
6 .
7 , где есть кривая , .
8 , где – произвольная линия, соединяющая точки , .
9 , где – ломаная , где , , .
10 , где есть .
11 .
12 , где есть , обход против часовой стрелки.
13 .
14 , где есть .
Задания для домашней работы
Вычислить интегралы:
1 , где – отрезок прямой, соединяющий точки , .
2 , где – отрезок прямой, соединяющий точки , .
3 , где – отрезок прямой, соединяющий точки , .
4 , где есть , обход против часовой стрелки.
5 .
6 , где – отрезок прямой, соединяющий точки , .
7 .
8 по дуге окружности , , .
9 , где – ломаная, состоящая из отрезка действительной оси и отрезка, соединяющего точки , .
10 , где а) дуга параболы , соединяющая точки , ; б) отрезок прямой, соединяющий эти же точки.
11 .
12 , где есть , обход против часовой стрелки.
13 .
Практическое занятие 4 Интегральная формула Коши
4.1 Интегральная формула Коши
4.2 Интеграл типа Коши
4.1 Интегральная формула Коши
Теорема 1 (интегральная формула Коши) Пусть функция аналитична в области . Тогда для любой точки справедливо равенство
,
где – кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области и охватывающий точку .
Интеграл , стоящий в правой части равенства теоремы 1, называется интегралом Коши функции .
Если в условиях теоремы точка расположена вне области, ограниченной контуром , то
.
Теорема 2 (о среднем) Значение аналитической функции в любой точке области , в которой функция является аналитической, равно среднему арифметическому ее значений на любой окружности с центром в точке , целиком лежащей в области .
Пусть функция аналитическая в односвязной области . Если в области постоянна действительная часть функции или постоянен модуль функции , то функция постоянна в области .
Теорема 3 (о максимуме модуля) Пусть функция , не равная тождественно постоянной, является аналитической в области и непрерывна в . Тогда максимальное (минимальное) значение модуля достигается только на границе области .
Другими словами, модуль не может достигать максимума (минимума) внутри области кроме случая, когда .
4.2 Интеграл типа Коши
Пусть в плоскости комплексного переменного задана произвольная кусочно-гладкая кривая (замкнутая или незамкнутая) и на ней – произвольная непрерывная функция .
Интеграл
,
где – произвольная точка комплексной плоскости, не лежащая на кривой , называется интегралом типа Коши. Интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши.
Теорема 4 Пусть – кусочно-гладкая кривая, расположенная в комплексной плоскости и – непрерывная функция на этой кривой. Тогда функция является: а) аналитической в любой области комплексной плоскости , не содержащей точек кривой , б) бесконечно дифференцируемой в области , причем ее производная любого порядка может быть получена по формуле
.
Следствие 1 Производные любого порядка от функции , аналитической в области , также являются аналитическими в этой области.
Следствие 2 Пусть аналитическая в области функция и на ее границе . Тогда функция бесконечно дифференцируема в этой области и ее производная -го порядка в точке находится по формуле
, .
Следствие 3 В любой точке области , в которой функция является аналитической, справедливы неравенства Коши
, ,
где — радиус произвольной окружности с центром в точке , целиком лежащей в области ; – наибольшее значение модуля функции на окружности .
Теорема 5 (Коши-Лиувилля) Если функция аналитична во всей комплексной плоскости и ограничена по модулю, то она постоянна.
Теорема 6 (Морера) Если функция непрерывна в области и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру , лежащему в области , то является аналитической функцией в области .
Из условия теоремы следует, что в области интеграл не зависит от пути интегрирования, соединяющего фиксированную точку с произвольной точкой ( и лежат в области ) и определяет аналитическую функцию
,
для которой , .
Вопросы для самоконтроля
1 Сформулируйте теорему об интегральной формуле Коши.
2 В чем суть теоремы о среднем для функции комплексной переменной?
3 В чем состоит принцип максимума модуля аналитической функции?
4 Какой интеграл называется интегралом типа Коши?
5 Какими свойствами обладает интеграл типа Коши?
6 Сформулируйте теорему Коши-Лиувилля.
7 В чем суть теоремы Морера?
Решение типовых примеров
1 Вычислить интеграл , если есть окружность, определяемая уравнением:
а) ; б) ; в) .
Решение. Особыми точками функции будут точки, обращающие в нуль знаменатель, т. е. . Решая уравнение, получим две особые точки , .
а) внутри области , ограниченной окружностью , нет особых точек функции , т. е. аналитична в области . В силу теоремы Коши (практическое занятие 3) имеем
;
б) внутри области, ограниченной окружностью , лежит точка . По интегральной формуле Коши имеем:
;
в) в области, ограниченной окружностью , лежат обе особые точки: и . Непосредственно применять интегральную формулу Коши нельзя. Вычислить данный интеграл можно двумя способами.
1 способ Разложим дробь на простейшие:
.
Подставляя в интеграл и применяя интегральную формулу Коши, получим:
.
2 способ Построим окружности и с центрами в точках и малых радиусов таких, чтобы окружности не пересекались и целиком лежали в круге . В трехсвязной области, ограниченной окружностями , и подынтегральная функция аналитична всюду. По теореме Коши для многосвязной области (практическое занятие 3) имеем
.
2 Пользуясь интегральной формулой Коши, вычислить интеграл , где окружность обходится в положительном направлении.
Решение. Внутри области, ограниченной окружностью , находится точка , в которой знаменатель функции обращается в нуль.
Перепишем заданный интеграл так
.
Функция является аналитической в круге . Применяя интегральную формулу Коши в точке получим
.
3 Вычислить интегралы
а) ; б) .
Решение. а) особые точки функции , . В области лежит точка .
Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Тогда по следствию 2 теоремы 4 получим
;
б) подынтегральная функция является аналитической в области всюду, кроме точки . Функция является всюду аналитической в круге . При по следствию 2 теоремы 4 имеем
.
Так как и , то
.
Задания для аудиторной работы
Вычислить интегралы (обход по контуру в положительном направлении):
1 . 8 .
2 . 9 .
3 . 10 .
4 . 11 .
5 . 12 .
6 . 13 .
7 . 14 .
Задания для домашней работы
Вычислить интегралы (обход по контуру в положительном направлении):
1 . 9 .
2 . 10 .
3 . 11 .
4 . 12 .
5 . 13 .
6 . 14 .
7 . 15 .
8 . 16 .
Практическое занятие 5 Ряды аналитических функций
5.1 Ряды комплексных чисел
5.2 Функциональные ряды
5.3 Степенные ряды
5.1 Ряды комплексных чисел
Ряд
,
где , называется числовым рядом с комплексными членами, – общим членом ряда.
Если положить , , , , то ряд с комплексными членами запишется в виде .
Сумма называется частичной суммой ряда, а сумма называется остатком ряда.
Ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности частичных сумм :
,
комплексное число называется суммой ряда.
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при :
.
В случае сходимости ряда его остаток стремится к нулю при неограниченном возрастании . Добавление или отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд с действительными положительными членами . В случае абсолютной сходимости ряда имеем абсолютную сходимость рядов и .
Очевидно, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов и . При этом , где – сумма ряда , – сумма ряда .
Данное утверждение позволяет проводить исследование сходимости рядов с комплексными членами, основываясь на сходимости рядов с действительными членами. Для исследования применяются признаки сравнения рядов, Даламбера, Коши и другие достаточные признаки сходимости рядов.
5.2 Функциональные ряды
Ряд , членами которого являются функции комплексной переменной , называется функциональным рядом.
Точка называется точкой сходимости ряда , если сходится соответствующий числовой ряд . Функциональный ряд называется сходящимся в области , если он сходится в каждой точке этой области. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. В общем случае область сходимости ряда может быть многосвязной и замкнутой.
Суммой функционального ряда в области называется функция , которая в каждой точке равна значению соответствующего числового ряда :
.
Другими словами, функция является суммой функционального ряда в точке области , если для любого можно указать такой номер , что при . В общем случае номер зависит от выбора значений и точек .
Ряд называется равномерно сходящимся к функции в области , если для любого можно указать такой номер , что при и . Значение зависит только от и одинаково для любых .
Теорема 1 (критерий Коши) Функциональный ряд равномерно сходится в области тогда и только тогда, когда для любого существует такой номер , что для любых и выполняются неравенства:
, .
Теорема 2 (признак Вейерштрасса) Пусть
1) функциональный ряд сходится в области ;
2) члены ряда удовлетворяют неравенствам
, , ;
3) ряд сходится.
Тогда функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно в области .
Ряд называется мажорантным рядом для .
Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают свойствами:
– непрерывность: сумма равномерно сходящегося в области ряда, состоящего из непрерывных функций, есть функция, непрерывная в области ;
– интегрирование: равномерно сходящийся в области ряд непрерывных функций можно интегрировать вдоль любой кусочно-гладкой кривой , целиком лежащей в области , и справедлива формула
;
– дифференцирование равномерно сходящийся в области ряд аналитических функций можно дифференцировать любое число раз в области и справедлива формула
.
страница 1 страница 2 страница 3
|