страница 1 страница 2 | страница 3
Практическое занятие 3 Интегрирование функции комплексной переменной
3.1 Определение и свойства интеграла от функции комплексной переменной
3.2 Основная теорема Коши
3.3 Первообразная и неопределенный интеграл
3.1 Определение и свойства интеграла от функции комплексной переменной
Пусть  – однозначная функция комплексной переменной , определенная на некоторой гладкой кривой с началом в точке и концом в точке . Кривая может быть как замкнутой, так и незамкнутой. Направление движения по кривой от начальной точки к конечной точке называется положительным направлением на кривой и обозначается через . Противоположное направление на кривой называется отрицательным и обозначается .
Разобьем кривую на частичных дуг произвольно выбранными точками , , , , , , , расположенными последовательно в положительном направлении кривой причем , (рисунок 3. 1). На каждой частичной дуге , , выберем произвольную точку и составим интегральную сумму , где .
Рисунок 3. 1 – Разбиение кривой 
Интегралом от функции вдоль кривой в выбранном направлении называется предел , не зависящий от способа разбиения кривой на частичные дуги и от выбора точек , :
.
Если для функции , определенной на кривой , данный предел существует, то говорят, что функция интегрируема по кривой . Кривая называется путем или контуром интегрирования.
Интеграл от функции в положительном направлении кривой обозначается , в отрицательном – , в случае замкнутого контура – .
Теорема 1 Если функция непрерывна на гладкой кривой , заданной параметрическими уравнениями , , , а начальная и конечная точка дуги соответствуют значениям и , то интеграл существует и справедлива формула
, .
Теорема 2 (связь с криволинейным интегралом 2-го рода) Если функция непрерывна на гладкой кривой , то интеграл существует и справедлива формула
.
Интегралы от функций комплексной переменной обладают свойствами:
– линейность: если функции и непрерывны на кусочно-гладкой кривой , то для любых , имеет место равенство:
;
– ориентированность: пусть и – один и тот же путь интегрирования, проходимый соответственно в положительном или отрицательном направлении кусочно-гладкой кривой , и функция непрерывна на этой кривой. Тогда
;
– аддитивность: пусть кривая состоит из кусочно-гладких кривых и функция непрерывна на . Тогда
;
причем направление на кривых , , совпадает с направлением на кривой ;
– если произвольная кусочно-гладкая кривая с началом и концом , то
;
– если гладкая кривая, замкнутая или незамкнутая, имеющая длину , то
;
– оценка интеграла: для любой функции , непрерывной на гладкой кривой , справедливо неравенство:
;
– если , то во всех точках гладкой кривой длины справедливо неравенство:
.
3.2 Основная теорема Коши
Пусть функция является аналитической в односвязной области .
Теорема 3(Коши) Если функция аналитическая в области , ограниченной контуром , и – замкнутый контур в , то .
Если при этом непрерывна в , то .
Пусть – аналитическая функция в -связной области , внешней границей которой является замкнутый кусочно-гладкий контур . И пусть – система замкнутых кусочно-гладких кривых, лежащих в области и удовлетворяющих следующим условиям:
– кривые , , принадлежат внутренности ;
– для любого , , кривые при лежат во внешности ;
– многосвязная область получается из односвязной области, ограниченной замкнутой кривой , если из нее удалить односвязные области, ограниченные замкнутыми кривыми .
Рисунок 3. 2 – Многосвязная область
Обозначим через систему контуров, составленную из замкнутой кривой , проходимой в положительном направлении, и замкнутых кривых , , проходимых в отрицательном направлении (рисунок 3. 2):
Теорема 4 Пусть функция является:
1) аналитической функцией в многосвязной области , ограниченной системой контуров ,
2) непрерывной в .
Тогда
.
Из теоремы 4 следует:
.
Теорема 5 Пусть – аналитическая функция в односвязной области . Тогда интеграл от функции не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки и конечной точки пути интегрирования.
3.3 Первообразная и неопределенный интеграл
Пусть функция определена в области (односвязной или многосвязной). Первообразной функции в области называется такая функция , что в каждой точке выполняется равенство .
Теорема 6 Если – первообразная функции в области , то совокупность всех первообразных функции определяется формулой , где – произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных , функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается:
.
Теорема 7 (формула Ньютона-Лейбница) Если функция является аналитической в односвязной области , то интеграл от вдоль любого кусочно-гладкого контура, соединяющего две любые точки и этой области и лежащего целиком в ней, равен
.
Интегралы от элементарных функций комплексной переменной в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в случае действительной переменной.
Замена переменной в интегралах от функций комплексной переменной производится аналогично случаю функции действительной переменной. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно контур в плоскости на контур в плоскости . Тогда справедлива формула замены переменной:
Если путь интегрирования является полупрямой, выходящей из точки , или окружностью с центром в точке , то целесообразно использовать замену . В первом случае , а – действительная переменная интегрирования, во втором случае , а – действительная переменная интегрирования.
Вопросы для самоконтроля
1 Какое направление движения по кривой называется: а) положительным, б) отрицательным?
2 Что называется интегралом от функции комплексной переменной?
3 Как связаны интеграл от функции комплексной переменной по кривой и криволинейный интеграл 2-го рода?
4 Перечислите свойства интеграла от функции комплексной переменной.
5 Сформулируйте основную теорему Коши: а) для односвязной области, б) для многосвязной области.
6 Что называется первообразной для функции комплексной переменной?
7 Дайте определение неопределенного интеграла для функции комплексной переменной и запишите формулу Ньютона-Лейбница.
8 По какой формуле осуществляется замена переменной в интеграле от функции комплексной переменной?
9 Для каких путей интегрирования целесообразна замена ?
Решение типовых примеров
1 Вычислить интегралы
а) ; б) при ; в) .
Решение. а) по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
;
б) параметрические уравнения окружности с центром в точке имеют вид:
Отсюда комплексно-параметрическое уравнение окружности есть
, .
Тогда по теореме 1 получим:
;
в) имеем:
.
2 Вычислить , где – отрезок прямой , соединяющий точки и .
Решение. 1 способ. Так как контур интегрирования – прямая , сделаем замену . Тогда
, ,
где является постоянным и .
Таким образом,
, , ; .
В точке имеем , а в точке получим:
.
Тогда по теореме 1 получим:
.
2 способ. Выделим действительную и мнимую части исходной функции:
.
Отсюда
;
.
Тогда по теореме 2 получим
.
страница 1 страница 2 | страница 3
|