Научно - Информационный портал



  Меню
  


Смотрите также:



 Главная   »  
страница 1 страница 2 | страница 3
Практическое занятие 3 Интегрирование функции комплексной переменной
3.1 Определение и свойства интеграла от функции комплексной переменной

3.2 Основная теорема Коши

3.3 Первообразная и неопределенный интеграл
3.1 Определение и свойства интеграла от функции комплексной переменной

Пусть – однозначная функция комплексной переменной , определенная на некоторой гладкой кривой с началом в точке и концом в точке . Кривая может быть как замкнутой, так и незамкнутой. Направление движения по кривой от начальной точки к конечной точке называется положительным направлением на кривой и обозначается через . Противоположное направление на кривой называется отрицательным и обозначается .

Разобьем кривую на частичных дуг произвольно выбранными точками , , , , , , , расположенными последовательно в положительном направлении кривой причем , (рисунок 3. 1). На каждой частичной дуге , , выберем произвольную точку и составим интегральную сумму , где .

Рисунок 3. 1 – Разбиение кривой



Интегралом от функции вдоль кривой в выбранном направлении называется предел , не зависящий от способа разбиения кривой на частичные дуги и от выбора точек , :

.

Если для функции , определенной на кривой , данный предел существует, то говорят, что функция интегрируема по кривой . Кривая называется путем или контуром интегрирования.

Интеграл от функции в положительном направлении кривой обозначается , в отрицательном – , в случае замкнутого контура .

Теорема 1 Если функция непрерывна на гладкой кривой , заданной параметрическими уравнениями , , , а начальная и конечная точка дуги соответствуют значениям и , то интеграл существует и справедлива формула

, .

Теорема 2 (связь с криволинейным интегралом 2-го рода) Если функция непрерывна на гладкой кривой , то интеграл существует и справедлива формула

.

Интегралы от функций комплексной переменной обладают свойствами:

линейность: если функции и непрерывны на кусочно-гладкой кривой , то для любых , имеет место равенство:

;

ориентированность: пусть и – один и тот же путь интегрирования, проходимый соответственно в положительном или отрицательном направлении кусочно-гладкой кривой , и функция непрерывна на этой кривой. Тогда



;

аддитивность: пусть кривая состоит из кусочно-гладких кривых и функция непрерывна на . Тогда



;

причем направление на кривых , , совпадает с направлением на кривой ;

– если произвольная кусочно-гладкая кривая с началом и концом , то

;

– если гладкая кривая, замкнутая или незамкнутая, имеющая длину , то



;

оценка интеграла: для любой функции , непрерывной на гладкой кривой , справедливо неравенство:



;

– если , то во всех точках гладкой кривой длины справедливо неравенство:



.
3.2 Основная теорема Коши

Пусть функция является аналитической в односвязной области .



Теорема 3(Коши) Если функция аналитическая в области , ограниченной контуром , и замкнутый контур в , то .

Если при этом непрерывна в , то .

Пусть – аналитическая функция в -связной области , внешней границей которой является замкнутый кусочно-гладкий контур . И пусть – система замкнутых кусочно-гладких кривых, лежащих в области и удовлетворяющих следующим условиям:

– кривые , , принадлежат внутренности ;

– для любого , , кривые при лежат во внешности ;

– многосвязная область получается из односвязной области, ограниченной замкнутой кривой , если из нее удалить односвязные области, ограниченные замкнутыми кривыми .



Рисунок 3. 2 – Многосвязная область

Обозначим через систему контуров, составленную из замкнутой кривой , проходимой в положительном направлении, и замкнутых кривых , , проходимых в отрицательном направлении (рисунок 3. 2):



Теорема 4 Пусть функция является:

1) аналитической функцией в многосвязной области , ограниченной системой контуров ,

2) непрерывной в .

Тогда

.

Из теоремы 4 следует:



.

Теорема 5 Пусть аналитическая функция в односвязной области . Тогда интеграл от функции не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки и конечной точки пути интегрирования.
3.3 Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть функция определена в области (односвязной или многосвязной). Первообразной функции в области называется такая функция , что в каждой точке выполняется равенство .



Теорема 6 Если первообразная функции в области , то совокупность всех первообразных функции определяется формулой , где произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных , функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается:



.

Теорема 7 (формула Ньютона-Лейбница) Если функция является аналитической в односвязной области , то интеграл от вдоль любого кусочно-гладкого контура, соединяющего две любые точки и этой области и лежащего целиком в ней, равен

.

Интегралы от элементарных функций комплексной переменной в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в случае действительной переменной.

Замена переменной в интегралах от функций комплексной переменной производится аналогично случаю функции действительной переменной. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно контур в плоскости на контур в плоскости . Тогда справедлива формула замены переменной:

Если путь интегрирования является полупрямой, выходящей из точки , или окружностью с центром в точке , то целесообразно использовать замену . В первом случае , а – действительная переменная интегрирования, во втором случае , а – действительная переменная интегрирования.



Вопросы для самоконтроля
1 Какое направление движения по кривой называется: а) положительным, б) отрицательным?

2 Что называется интегралом от функции комплексной переменной?

3 Как связаны интеграл от функции комплексной переменной по кривой и криволинейный интеграл 2-го рода?

4 Перечислите свойства интеграла от функции комплексной переменной.

5 Сформулируйте основную теорему Коши: а) для односвязной области, б) для многосвязной области.

6 Что называется первообразной для функции комплексной переменной?

7 Дайте определение неопределенного интеграла для функции комплексной переменной и запишите формулу Ньютона-Лейбница.

8 По какой формуле осуществляется замена переменной в интеграле от функции комплексной переменной?

9 Для каких путей интегрирования целесообразна замена  ?
Решение типовых примеров
1 Вычислить интегралы

а) ; б) при ; в) .



Решение. а) по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

;

б) параметрические уравнения окружности с центром в точке имеют вид:



Отсюда комплексно-параметрическое уравнение окружности есть



, .

Тогда по теореме 1 получим:







;

в) имеем:



.

2 Вычислить , где – отрезок прямой , соединяющий точки и .

Решение. 1 способ. Так как контур интегрирования – прямая , сделаем замену . Тогда

, ,

где является постоянным и .

Таким образом,

, , ; .

В точке имеем , а в точке получим:



.

Тогда по теореме 1 получим:







.

2 способ. Выделим действительную и мнимую части исходной функции:

.

Отсюда


;

.

Тогда по теореме 2 получим











.


страница 1 страница 2 | страница 3

Смотрите также: