страница 1 | страница 2 страница 3
5.3 Степенные ряды
Ряд вида
называется степенным рядом по степеням . Здесь – коэффициенты ряда, – фиксированная точка.
Теорема 3 (Абеля) Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится во всех точках , удовлетворяющих условию , причем сходимость будет равномерной в любом круге , . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во всех точках , удовлетворяющих условию .
Для степенного ряда , имеющего как точки сходимости (кроме , где ряд всегда сходится), так и точки расходимости, всегда существует такое действительное число , что внутри круга ряд сходится, а вне этого круга – расходится.
Область называется кругом сходимости, а число – радиусом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости вычисляется:
– по формуле Коши-Адамара ,
– по формуле , если этот предел существует.
Если , то ряд сходится лишь в точке ; если , то ряд сходится на всей комплексной плоскости .
Внутри круга сходимости ряд сходится к аналитической функции.
Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать любое число раз. При этом радиус сходимости каждого вновь полученного ряда равен радиусу сходимости исходного ряда, а над суммой ряда выполняется то же действие, что и над самим рядом.
Вопросы для самоконтроля
1 Сформулируйте определение ряда комплексных чисел?
2 Как исследовать ряд комплексных чисел на сходимость?
3 Какой ряд с комплексными числами называется абсолютно сходящимся?
4 Какой ряд называется функциональным рядом?
5 Что называется точкой сходимости и областью сходимости функционального ряда?
6 Какой функциональный ряд называется равномерно сходящимся?
7 Какая сходимость функционального ряда сильнее: точечная или равномерная?
8 Перечислите основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
9 Какой ряд называется степенным?
10 Что называется: а) радиусом сходимости, б) кругом сходимости степенного ряда?
11 Когда можно почленно дифференцировать и интегрировать степенные ряды?
Решение типовых примеров
1 Исследовать сходимость ряда .
Решение. По формуле Эйлера общий член ряда можно записать в виде
.
Рассмотрим два ряда
и
Так как и и ряд сходится, то оба ряда сходятся. Значит, и ряд сходится.
2 Найти сумму ряда .
Решение. Каждый коэффициент ряда равен 1, поэтому радиус сходимости . Заданный ряд является рядом геометрической прогрессии, для которого
.
Поэтому сумма ряда есть аналитическая функция
.
3 Найти область сходимости функционального ряда
.
Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Так как
,
то согласно признаку д’Аламбера ряд сходится абсолютно при условии . Отсюда . Значит, ряд сходится абсолютно вне круга с центром в точке радиуса 1. При имеем расходящийся числовой ряд .
4 Найти область точечной и равномерной сходимости ряда
.
Решение. Составим частичные суммы ряда
.
Предел существует только при и в точке . Поэтому областью точечной сходимости ряда является область и сумма ряда в каждой точке этой области равна
Рассмотрим остаток ряда
В силу произвольности , положим . Возьмем последовательность точек таких, что и . Так как
,
то по определению равномерной сходимости неравенство выполняется не для любого .
Значит, в области функциональный ряд сходится неравномерно.
5 Найти область сходимости и область равномерной сходимости ряда .
Решение. Радиус сходимости есть
.
Следовательно, ряд сходится в круге . На границе круга при получим ряд , который является сходящимся. Поэтому исходный ряд сходится в замкнутом круге .
Для всех из круга сходимости имеем:
.
Тогда по признаку Вейерштрасса ряд сходится абсолютно и равномерно в круге .
6 Найти радиус сходимости и область равномерной сходимости рядов:
а) ; б) .
Решение. а) преобразуем коэффициенты ряда
.
Тогда радиус сходимости равен
.
Здесь учитывалось, что
.
Следовательно, и область равномерной сходимости ряда есть ;
б) коэффициенты ряда . Тогда
.
Отсюда
.
Значит, радиус и область равномерной сходимости ряда есть .
Задания для аудиторной работы
1 Исследовать сходимость рядов:
а) ; г) ; ж) ;
б) ; д) ; и) ;
в) ; е) ; к) .
2 Найти области сходимости и область равномерной сходимости функциональных рядов:
а) ; г) ; ж) ;
б) ; д) ; и) ;
в) ; е) ; к) .
Задания для домашней работы
1 Исследовать сходимость рядов:
а) ; г) ; ж) ;
б) ; д) ; и) ;
в) ; е) ; к) .
2 Найти области сходимости и область равномерной сходимости функциональных рядов:
а) ; г) ; ж) ;
б) ; д) ; и) ;
в) ; е) ; к) .
страница 1 | страница 2 страница 3
|