В соответствии с этим принципом свойства сложной системы не могут быть обнаружены и выведены из известных и наблюдаемых свойств ее элементов. Действительно, если большое число технологических элементов ТСМ объединены в сложную структуру, то между переменными состояния этих элементов возникают новые отношения, порождающие новые свойства, которые невозможно предсказать с помощью моделей изолированных элементов.

Какие же фундаментальные физические закономерности и математические структуры можно привлечь для формализации этих отношений? Один из ответов на этот вопрос был впервые дан Густавом Кирхгофом, когда он разрешил задачу о распределении электрических токов в разветвленных электрических цепях и сформулировал два своих знаменитых закона для установившихся токов и напряжений. Позже были изучены аналогии между структурированными сложными системами различной физической природы и установлено, что аналогами электрического потенциала являются давление (напор), температура, скорость, а аналогами электрического тока — расход жидкостей, газов, тепловой поток, механическая сила.

Именно эти аналогии позволили расширить сферу применения законов Кирхгофа на физические системы любой природы в диакоптике Габриэля Крона [2] и теории гидравлических цепей Хасилева-Меренкова [3].

Утверждения теории гидравлических цепей распространяются на структурированные сложные системы любой природы, независимо от физических свойств переносимой субстанции по ветвям сети, лишь бы эти свойства вписывались в модель сплошной среды.

Вместе с тем, в сетевых системах есть нечто общее, что их объединяет на множестве классов систем, но есть и нечто специфичное, что фиксирует отдельные классы и придает системам из этих классов функционально-специфичную целостность, требуя конкретно специфичных методов формализации на основе общих методов теории гидравлических цепей.

Сложные теплоснабжающие системы отличаются от сложных водопроводных, вентиляционных и газовых сетей прежде всего специфичностью технологической структуры, которая заключается в наличии технологической обратной связи между потребителями тепла и источниками теплоснабжения через обратную трубопроводную сеть, а также в специфичности массообмена с окружающей средой в закрытых и открытых ТСМ.

В инфраструктуре современных городов на экономическом пространстве СНГ нашли широкое применение три класса специфичных технологических структур сложных теплоснабжающих систем: закрытые, открытые и смешанные системы.

В закрытых ТСМ (Москва, Киев, Минск, Харьков, Новосибирск и др.) нагрузки горячего водоснабжения (ГВС) удовлетворяются посредством гидравлически изолированных от источников тепла сетей горячего водоснабжения, в которых используется нагреваемая водопроводная вода.

Повышение температуры водопроводной воды в гидравлической сети ГВС до требуемого нормативного уровня обеспечивается посредством скоростных или емких подогревателей ГВС, греющие тракты которых включены в гидравлическую сеть ТСМ.

Открытые теплоснабжающие системы при всех их обозримых недостатках все же нашли довольно широкое распространение в крупных городах СНГ (Санкт-Петербург, Екатеринбург, Омск, Алматы, Красноярск, Карагандa и др.) и приобрели все черты сложных систем.

Основная технологическая особенность открытых ТСМ — это непосредственный отбор сетевой воды на нужды ГВС потребителей. Для компенсации прямого отбора теплоносителя в условиях резко выраженной суточной неравномерности нагрузки ГВС в структуре открытых ТСМ предусмотрены высокопроизводительные установки для деаэрации химической очистки и хранения больших объемов теплоносителя. Кроме того, в районах сосредоточения нагрузки ГВС сооружаются высокопроизводительные установки для аккумуляции горячей воды (баки-аккумуляторы).

Объединим всё многообразие постановок задач анализа режимов в открытых, закрытых и смешанных ТСМ в классы, используя в качестве классификационного признака содержание исходных данных, которые фиксируют исходное состояние ТСМ в типичной режимной ситуации. Для обозначения типичных режимных ситуаций будем использовать конструкцию R_i, i = 1, 2, … . Тогда типичные режимные ситуации закрытых ТСМ примут следующий вид:

- R₁ [заданы: нагрузки потребителей, параметры активных и пассивных технологических элементов системы, геодезические отметки местности для нагруженных и ненагруженных узлов];

- R₂ [заданы: гидравлические сопротивления потребителей, параметры активных и пассивных технологических элементов системы, геодезические отметки местности для нагруженных и ненагруженных узлов];

- R₃ [заданы: гидравлические сопротивления потребителей, параметры активных и пассивных технологических элементов системы, расходы утечки из фиксированных узлов подающего и обратного трубопроводов, расходы подпитки в подпиточных узлах источников теплоснабжения, геодезические отметки местности для нагруженных и ненагруженных узлов];

- R₄ [заданы: гидравлические сопротивления потребителей, параметры активных и пассивных технологических элементов системы, гидравлические сопротивления фиктивных ветвей утечки и подпитки, соединяющих заданные узлы трубопроводной сети с фиктивным опорным узлом, геодезические отметки местности для нагруженных и ненагруженных узлов].

Типичные исходные режимные ситуации открытых ТСМ примут следующий вид:

- R₅ [заданы: нагрузки ГВС в узлах присоединения потребителей (открытые нагрузки), нагрузки отопления, вентиляции, кондиционирования, технологического теплопотребления (закрытые нагрузки), нагрузки на зарядку баков-аккумуляторов в узлах их присоединения, параметры пассивных и активных элементов системы, расходы подпитки в узлы подпитки источников теплоснабжения и в узлы присоединения баков-аккумуляторов, работающих в режиме подпитки, геодезические отметки местности для нагруженных и ненагруженных узлов];

- R₆ [заданы: нагрузки ГВС в узлах присоединения потребителей, нагрузки на зарядку баков-аккумуляторов, гидравлические сопротивления потребителей по закрытой нагрузке, параметры активных и пассивных элементов системы, расходы подпитки в узлы подпитки источников теплоснабжения и в узлы присоединения баков-аккумуляторов, работающих в режиме подпитки, геодезические отметки местности для нагруженных и ненагруженных узлов];

- R₇ [заданы: гидравлические сопротивления потребителей по закрытой нагрузке, параметры активных и пассивных элементов системы, гидравлические сопротивления фиктивных ветвей, соединяющих узлы с нагрузкой ГВС, и фиктивный опорный узел, напоры фиктивных насосов, соединяющих фиктивный опорный узел с заданными узлами подпитки, геодезические отметки местности для нагруженных и ненагруженных узлов].

Классифицировав наиболее общие технологические структуры ТСМ, получившие распространение на экономическом пространстве СНГ, и выделив типичные режимные ситуации, получим общие математические модели для установившихся гидравлических режимов с помощью графового представления технологических структур, вещественного векторного пространства, связанного с графами ТСМ, моделей изолированных технологических элементов, сопоставленных ветвям и узлам графа, и, наконец, сетевые законы Кирхгофа.

Пусть расчетная схема ТСМ фиксированной технологической структуры представлена связным орграфом G(M,N), который содержит m узлов, n ветвей и p компонентов связности. Выделим основное дерево, например, минимального гидравлического сопротивления, зафиксировав таким образом K хорд и, соответственно, K линейно независимых контуров. Сформируем матрицы соединений A_c, контуров B и определим алгебраическую структуру конечного множества объектов с помощью конечномерного векторного пространства.

В теории электрических и гидравлических цепей разработан формальный подход представления всех подграфов линейного графа G(M,N) в элементы векторного пространства размерности n. Система координат в этом пространстве определяется элементами, каждый из которых представляет собой одну ветвь графа G, а строки матриц A_c и B становятся векторами в этом пространстве.

Отображение связного графа G(M,N) на линейное векторное n-мерное пространство V_g c помощью матриц A_c и B позволяет использовать аппарат линейной алгебры для автоматического формирования уравнений Кирхгофа для каждой фиксированной технологической структуры ТСМ.

В пространстве V_g определим векторы (q, h, Δh, P, Q), формально представляющие моделируемое состояние ТСМ:

- q = (q₁, q₂, …, q_n)^T — n-мерный вектор объёмных расходов в ветвях графа G;

- h = (h₁, h₂, …, h_m)^T — m-мерный вектор полных напоров в узлах графа G;

- Δh = (Δh₁, Δh₂, …, Δh_m)^T — m-мерный вектор разностей полных напоров в начальных и конечных узлах ветвей графа G;

- P = (P₁, P₂, …, P_m)^T — m-мерный вектор пьезометрических напоров в узлах графа G;

- Q = (Q₁, Q₂, …, Q_m)^T — m-мерный вектор объемных узловых расходов.

Являясь абстрактными объектами, векторы (q, h, Δh, P) количественно отображают внутреннее состояние ТСМ в процессе установившегося изотермического движения теплоносителя по ветвям гидравлического тракта, а вектор Q отображает направление и интенсивность массообмена с окружающей средой.

Выделенным выше типичным структурам ТСМ поставим в соответствие следующие модели установившегося гидравлического режима, которые можно интерпретировать в терминах выделенных режимных ситуаций R₁ – R₇.

Модель M₁. Модель этого типа целесообразна при имитационном моделировании расчетных эксплуатационных и перспективных режимов с заданными нагрузками потребителей как закрытых ТСМ в режимной ситуации R₁, так и открытых ТСМ в режимной ситуации R₅. Модель M₁ представлена следующими системами линейных и нелинейных уравнений и замыкающих зависимостей:

M1.1

M1.2

M1.3

M1.4

M1.5

M1.6

M1.7

Система М1.1 в модели М₁ представляет первый закон Кирхгофа о материальном балансе во всех линейно независимых узлах графа G(M,N).

Уравнение М1.2 обеспечивает материальный баланс массообмена ТСМ с окружающей средой и позволяет определить узловой расход в линейно-зависимом узле (обычно это узел с заданным полным напором) через заданные расходы в линейно независимых узлах.

Система М1.3 представляет второй закон Кирхгофа о равновесии удельной энергии теплоносителя на ветвях замкнутых линейно-независимых контуров.

Замыкающее соотношение М1.4 обеспечивает определение потерь полного напора на (n – n₁) пассивных ветвях и повышение полного напора на n₁ активных ветвях, представленных насосами. Представление насосов отдельными ветвями на графе G(M,N) обеспечивает возможность описания полных технологических структур насосных станций и позволяет определять параметры режима для любого из работающих насосных агрегатов.

Соотношения М1.1-М1.4 будем называть математической моделью потокораспределения, посредством которой можно определить расходы теплоносителя на ветвях гидравлического тракта ТСМ. Однако для полноты определения установившегося состояния ТСМ недостаёт полных и пьезометрических напоров в узлах гидравлической цепи.

Соотношения М1.5 описывают связи полных напоров в узлах графа G(M,N) с изменениями напоров на ветвях и представляют собой нe что иное, как уравнения Бернулли, записанные для каждой из ветвей и разрешённые относительно разности полных энергий потока теплоносителя в начальном и конечном сечениях.

Соотношения М1.6 обеспечивают возможность определения пьезометрических напоров в узлах через полные напоры и геодезические отметки местности, посредством которых учитываются уровни потенциальной энергии потоков в узлах.

Наконец, соотношение М1.7 обеспечивает возможность восстановления гидравлических сопротивлений всех выделенных в отдельные компоненты связности на графе G(M,N) потребителей ТСМ с заданными расходами.

Вектор узловых расходов Q в модели М₁ имеет различные интерпретации для закрытых и открытых ТСМ. В закрытых ТСМ для режимной ситуации R₁ заданные нагрузки потребителей представляются узловыми расходами Q_j в n₂ узлах присоединения потребителей на подающем трубопроводе и в n₂ узлах на обратном. При этом узловой расход Q_j в любом входном узле потребителя, размещенном на подающем трубопроводе, должен иметь по условию материального баланса отрицательный знак (–Q_j), а расход Q_j в выходных узлах на обратном трубопроводе — положительный знак (+Q_j).

Противоположные знаки у переменных q_i и Q_j при их одинаковой ориентации по отношению к узлу потребовались для того, чтобы записывать неоднородные уравнения М1.1 в традиционной причинно-следственной форме: справа — причина в форме заданных узловых расходов, слева — искомые расходы в инцидентных ветвях. Тогда в соответствии с описанным правилом присвоения знаков узловые расходы Q_j определяются из следующих соотношений:

где — заданная объемная нагрузка i-го потребителя;

При этом δ_ij0, δ_ij1 = 1, если j-ый узел является входным или выходным для i-го потребителя, и δ_ij0, δ_ij1 = 0 — в противном случае.

Таким образом, в модели закрытой ТСМ для режимной ситуации R₁ m-мерный вектор узловых расходов имеет 2n₂ ненулевых компонентов и m – 2n₂ нулевых компонентов, т.е.

Полный набор исходных данных в модели М1 для режимной ситуации R₁ принимает вид:

где h_m — заданный полный напор в опорном линейно-независимом узле.

В открытых ТСМ для режимной ситуации R₅ вектор узловых расходов определяется следующим образом:

где –Q_gj — заданная открытая объемная нагрузка ГВС в j-ом узле присоединения потребителя или бака-аккумулятора в режиме зарядки, м³/ч;

Для режимной ситуации R₅ m узлов графа G(M,N) объединены в следующие группы:

- 2m₁ узлов присоединения потребителей с закрытой нагрузкой и нагрузкой ГВС;

- 2m₂ узлов присоединения потребителей только с закрытой нагрузкой;

- m₃ узлов подпитки на источниках теплоснабжения;

- m₄ узлов присоединения баков-аккумуляторов, работающих в режиме подпитки;

- m – (m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅) ненагруженных (транзитных) узлов.

Полный набор исходных данных в обозначения модели М₁ для режимной ситуации R₅ принимает вид:

Модель М₂ представлена следующими системами линейных и нелинейных уравнений и замыкающих соотношений:

M2.1

M2.2

M2.3

M2.4

M2.5

M2.6

Компоненты вектора Q в модели М₂ определяются специфическим образом для режимных ситуаций R₂, R₃, R₆. При моделировании закрытых ТСМ в режимной ситуации R₂ компоненты вектора Q должны иметь нулевые значения, т.е. . Тогда система М2.1 вырождается в однородную систему, а уравнение М2.2 вырождается в тривиальное тождество 0=0.

В режимной ситуации R₃, когда моделируется влияние утечек в закрытой ТСМ на параметры режима, компоненты вектора Q определяются следующим образом :

где Q_yj — заданный узловой расход утечки в j-ом узле, посредством которого моделируется аварийная ситуация связанная с потерей герметичности трубопроводного тракта или арматуры;

В режимной ситуации R₆, когда моделируется влияние вывода конкретных видов сетевого и станционного оборудования в ремонт на изменения расхода теплоносителя через гидравлические тракты теплопотребляющих систем потребителей, компоненты вектора Q определяются следующим образом :

где m₁, m₃, m₄, m₅ имеют те же значения, что и для режимной ситуации R₅.

Полные наборы исходных данных для режимных ситуаций R₂, R₃, R₆ соответственно принимают вид:

Математические модели М₁, М₂ содержат полный набор формальных средств, связывающих алгебраическими отношениями параметры установившихся режимов открытых и закрытых ТСМ в типичных режимных ситуациях, имеющих реальный смысл в сферах эксплуатации и проектирования. Однако эти модели еще не являются формально поставленными задачами анализа установившихся гидравлических режимов ТСМ и, тем более, не определяют порядок вычисления компонентов векторов (q, h, Δh, P, Q), определяющих искомое гидравлическое состояние. Взаимная связь упомянутых векторов состояния вызывает необходимость выбора первоочередных искомых переменных, т.е. параметров режима, которые будут определяться в первую очередь на основе исходных данных в конкретной режимной ситуации.

Если в качестве первоочередных искомых переменных назначить компоненты вектора q, то на базе любой из моделей М₁, М₂ получим так называемую контурную модель анализа установившегося гидравлического режима, которая базируется на концепции контурных расходов.

Если же первоочередными искомыми переменными назначить компоненты вектора h, то после соответствующих преобразований моделей М₁, М₂, получим узловую модель, которая базируется на концепции узловых напоров (давлений).

Контурная и узловая модели эквивалентны в смысле получаемых с их помощью решений (q^*, h^*, Δh^*, P^*, Q^*), однако с позиций эффективности вычислений каждая из них имеет свою сферу применения на множестве технологических структур ТСМ.

На начальном этапе разработки информационных технологий для задач режимного анализа теплоснабжающих систем наибольшее развитие получили модели контурного типа [3]. Однако в задачах режимного анализа электроэнергетических систем и больших электронных схем современной схемотехники наибольшее развитие получили узловые модели [4]. Последнее обстоятельство стимулировало работы по программной реализации и исследованию вычислительной эффективности контурных и узловых моделей в задачах моделирования больших теплоснабжающих систем, в которых и были определены области целесообразного применения обоих классов моделей. Информационная технология реализации задач анализа установившихся гидравлических режимов ТСМ на базе узловой модели была разработана в среде интегрированной информационно-графической системы (ИГС) ГИД-2005kz, которая получила широкое распространение в крупнейших энергосистемах экономического пространства СНГ [5].