до момента времени t ;

 (t) ;

 (t)

6.1. Модель с дискретно-понижающей частотой появления
ошибок ПО
В этой модели предполагается, что интенсивность отказов программы
является постоянной величиной до обнаружения возникшей ошибки

и, как следствие – отказа программы и ее устранения. После этого значе-

^{той. В этой модели предполагается, что между  (t) и числом оставшихся}
в программе ошибок существует зависимость
 (t)  K (M  i)  _i ,
где M – неизвестное первоначальное число ошибок;
i – число обнаруженных ошибок, зависящее от времени t ;
K – некоторая константа.
Характер изменения интенсивности отказов для этой модели представлен на рисунке 4.

 (t)

		K

t
Рис. 4. Характер изменения интенсивности отказов программы от времени наработки при модели с дискретно-понижающей частотой появления ошибок

^{Плотность распределения времени обнаружения i -й ошибки t} _i
деляется соотношением

опре-

Значения неизвестных параметров K и M могут быть оценены на основании последовательности наблюдения интервалов между моментами обнаружения ошибок.

На практике условия рассмотренной модели нередко не соблюдаются,
а именно:

- не всегда при устранении ошибки интенсивность отказов уменьшается

- довольно часто возникают ситуации, при которых устранение одних ошибок приводит к появлению новых;

- не всегда удается устранить причину ошибки и программу продолжают
использовать, так как при других исходных данных ошибка может себя
и не проявить.


6.2. Модель с дискретным увеличением времени наработки на отказ

Основным допущением в этой модели является предположение о том,

(рис.5).

_t ⁽¹⁾

_t ⁽²⁾

_t ⁽³⁾

_t ^{(m 1)}

t

_t (1)
0 t<sub>1

t</sub> ⁽²⁾
_t (2)
t<sub>2

t</sub> ⁽³⁾
_t (3)

_t ^{(m 1)}
_t (m 1)
t₃

^tm 1

_t ^(m)
_t m
t_m

где t ⁽²⁾ – дополнение интервала t ⁽¹⁾

до величины интервала t ⁽²⁾ .

ошибки, в расчет не берется. В этом случае для всех случайных моментов времени возникновения ошибки и временных интервалов между соседни- ми ошибками можно записать:

m , средняя наработка между
му ожиданию интервала t ^(m) :

(m  1)

и m отказами равна математическо-

_m


^{t }
(m)

^ср

M [t

^(m) _{] }

M [ _ t

^{(i )} _{] .}

Но для любого i

Поэтому

^{i 1}


M [t ^{(i )} ]  M [t ] .

_{m m}

ср

^{t (m)  M [} _ ^{t (i ) ] } _ ^{M [t ]  mM [t ] .}

i 1

i 1

Отсюда видно, что с увеличением m увеличивается и средняя наработка между двумя отказами.

Рассмотрим среднюю наработку до возникновения m -го отказа. Она
равна математическому ожиданию от t_m :

_{m i ( j ) m i
m(m  1)}

^t_{m ср}

^{ M [t}_m ^{]  M [   t}

i 1 j 1

^{] }   ^{M [t ] }

i 1 j 1

_{M [t ].}

²

Как и предыдущем случае, из полученного выражения видно, что средняя

наработка до отказа возрастает с увеличением числа отказов


Оценки M [t ] и  ² _t

получаются по данным об отказах программы в

^{течение периода наблюдения t}_н ^:
_mн




_{M [t] } ¹ _{ t} ^{(i )} _;

^m_н ^{i 1}
_{2 1 ( 2}

^ <sub>t

</sub>

^{ 1)}

^(m_н

 ^(t

i 1

^{ M [t] ,}

где m_н

– число отказов за интервал времени ( 0, t_н ).



6.3. Экспоненциальная модель надежности ПО
Основным предположением этой модели является экспоненциальный характер изменения числа ошибок в программе во времени. Прогноз на- дежности программы производится на основании данных, получаемых во время ее тестирования.

Основными параметрами модели являются:

-  – суммарное время функционирования от начала тестирования (с устра-
нением обнаруженных ошибок) до момента оценки надежности;
- M – число ошибок, имеющихся в программе перед началом тестирова-
ния;

- m( )

– конечное число исправленных ошибок;

где C – коэффициент пропорциональности, учитывающий быстродейст-

Подставляя это значение в выражение T₀ , получим

0 m

5. В чем сущность экспоненциальной модели надежности ПО?

Восстанавливаемые ТУ в общем случае представляют собой сложные системы, состоящие из высоконадежных элементов, отказы которых явля- ются независимыми. Для таких систем появление отказов на одном интер- вале наработки практически не влияет на вероятность появления какого- либо количества отказов на другом интервале, не пересекающемся с пер- вым. В этом случае отказы можно считать независимыми, а время нара- ботки между отказами распределенным по экспоненциальному закону.

Восстановление устройства после отказа производят путем замены
неисправного элемента или путем его ремонта. При этом в теории надеж- ности не учитывают время, необходимое на восстановление. Предполага- ется, что возникающие отказы ТУ устраняются мгновенно. Это – так назы- ваемая модель мгновенного восстановления работоспособности ТУ. При рассмотрении характеристик надежности восстанавливаемых ТУ считает- ся, что восстановление полностью возвращает устройству те же свойства, которыми оно обладало до отказа так, что его невозможно отличить от но- вого. При таком допущении продолжительность работы ТУ с момента его восстановления до очередного отказа не зависит от того, сколько раз оно отказывало в прошлом.

Одной из основных характеристик восстанавливаемых ТУ является

«ремонтопригодность» было дано в п. 3.1. Численной мерой восстанавли- ваемости является вероятность восстановления, под которой понимается вероятность того, что за определенный интервал времени и в заданных условиях ремонта неисправное ТУ будет восстановлено:

Первый сомножитель равен

где N – некоторое постоянное количество восстанавливаемых ТУ, на-

p( ) 

_ <sup>t

p(t)  e T</sup>
_{ e} t _.

Последовательности событий, состоящие в возникновении отказов в

характеристиками потока отказов являются средняя статистическая плотность вероятности отказов или параметр потока отказов и После- довательности событий, состоящие в возникновении отказов в случайные моменты времени t₁, t₂ , t₃ ,K, t_n , образуют поток событий или поток отка-

ками потока отказов являются средняя статистическая плотность веро- ятности отказов и суммарная статистическая плотность вероятности отказов.

^Tмо _ ^.
Известно, что для любого закона распределения времени безотказной

Для восстанавливаемых устройств в установившемся режиме их работы при t   имеет предел:

где  – интенсивность отказов, а T – среднее время безотказной ра-

не дает возможности определить, какой тип элементов системы менее на- дежен, а какой более надежен. Для этой цели может быть использован от- носительный коэффициент отказов

n

Таким образом, коэффициенты отказов могут быть выражены через интенсивность отказов и суммарную плотность вероятности отказов.

- бездействие исправных ТУ ввиду отсутствия необходимости их приме-

вследствие проведения плановых профилактик. Эта величина вполне опре-

ТУ выполняет свои предписанные функции.

могут быть получены из выражений:

– среднее время восстановления ТУ;

 T_p

При
t  

мя отказами будет равно

С учетом того, что

для функционирования всей обслуживаемой системы:

– среднее время восстановления ИС.

есть не что иное, как коэф-